（新教材）2021-2022学年下学期高一期中备考卷-数学（含答案）

这是一份（新教材）2021-2022学年下学期高一期中备考卷-数学（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵复数z对应的点的坐标是，∴，故选D．
2．在中，，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】由余弦定理，得，，
故选D．
3．圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，
则圆台的高为，
所以圆台的体积为，故选A．
4．用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为，则原图形面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】底边长为，高为的三角形的面积为，
在斜二测直观图中，若三角形的底边与轴平行或重合，
则原三角形的斜二测直观图的面积为，则，
由于平面多边形可由若干各三角形拼接而成，故平面多边形的面积是其直观图面积的倍，
因此，原图形面积为，故选A．
5．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由条件可知，
则，
当时，，故选B．
6．在平行四边形中，，点P为平行四边形所在平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】建立如图所示坐标系，设，则，
所以，，
故，
所以时，取得最小值，故选A．
7．两个不同的圆锥的底面是球O的同一截面，顶点均在球O表面上，若球O的体积为V，则这两个圆锥体积之和的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设球半径为，两个圆锥中较小的高为，
则另一个圆锥的高为，
圆锥底面半径为，则，，
两个圆锥的体积和为，
所以时，，
，因此，故选B．
8．已知在三角形中，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
即，解得，
由余弦定理，
所以
，
因为，所以，所以，
即，故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量
B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量
C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上
【答案】AD
【解析】A项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，
则向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；
B项为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，
则，的方向不确定，不能判断与是否共线；
C项为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，
所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；
D项为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，
且与是共线向量，所以A，B，C三点共线，
故选AD．
10．如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】BD
【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形，故选BD．
11．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若是等边三角形，则
【答案】ACD
【解析】对于A，因为是锐角三角形，所以，
所以，即，故A正确；
对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，
因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；
对于D，由是等边三角形，所以，所以，
由正弦定理，故D正确，
故选ACD．
12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularslid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式
【答案】ACD
【解析】如图，
该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的．
对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为，故正确；
对于B，过三点的截面为正六边形，所以，故错误；
对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积，故正确；
对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足，故正确，
故选ACD．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若复数为纯虚数（），则_______．
【答案】
【解析】，
由纯虚数的定义知，，解得，
所以，故，故答案为．
14．已知向量，，若，则实数_________．
【答案】
【解析】因为，所以，
即，
所以，解得，
故答案为．
15．在中，，，，平分交于点，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由题意得，
则，所以，
故答案为．
16．在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数___________．
【答案】或
【解析】因为，所以，点的坐标为．
设点的坐标为，则．
由题意得，，
所以，解得或，
所以复数或，
故答案为或．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）求实数取何值时，复数在复平面内对应的点．
（1）位于第二象限；
（2）位于第一或第三象限；
（3）在直线上．
【答案】（1）或；（2）或或；（3）或．
【解析】（1）复数在复平面内对应的点的坐标为，
若点位于第二象限，则，解得或．
（2）若点位于第一或第三象限，则或，
解得或或．
（3）若点在直线上，则，
解得或．
18．（12分）如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）连接，则，
设，
在中，，
．
（2），，
∴．
19．（12分）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulln，于1996年收入世界文化遗产名录（如图1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为m，母线SA长为m（如图2）．C是母线SA的一个三等分点（靠近点S）．
（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3．14，结果精确到个位）；
（2）从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．
【答案】（1）20347；（2）m．
【解析】（1）因圆锥SO的底面直径AB长为m，母线SA长为m，
则此圆锥的侧面积为()．
又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得(朵)，
所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．
（2）将圆锥SO沿母线SA剪开展在同一平面内得如图所示的扇形，点A到点，连接，则为最小长度，
扇形弧长等于圆锥SO底面圆周长，于是得扇形圆心角，
在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以灯光带的最小长度为m．
20．（12分）如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R，圆锥底面半径为r．
（1）试确定R与r的关系；
（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为､，球的表面积为，求；
（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由几何体的特征，得到△ABC为直角三角形，
由于大圆锥的轴截面为等边三角形，故，
所以，，所以．
（2）球心到圆锥底面的距离，所以小圆锥的高为，
故小圆锥的母线长为R，大圆锥的母线长为，所以，，，故．
（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为，球的体积为，
体积之比为．
21．（12分）△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，．
（1）求B；
（2）若，求△ABC面积S的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，
∴由正弦定理得，
∴，即，
∵，∴，∴，
∵，∴．
（2），，
由余弦定理得，
∵，∴，解得，当且仅当a＝c时取等号，
∴，
∴当时，△ABC面积S的最大值为．
22．（12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．
（1）若，求护栏的长度（的周长）；
（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；
（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）时，的面积取最小值为．
【解析】（1）∵，，，
∴，∴，∴，∴，
在中，由余弦定理可得：，
则，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴护栏的长度（的周长）为．
（2）设（），
因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，
所以，即，，
中，由三角形外角定理可得，
在中，由，得，
从而，即，
由，得，所以，即．
（3）设（），由（2）知，，
中，由外角定理可得，
又在中，由，得，
所以
，
所以当且仅当，
即时，的面积取最小值为．