2021-2022学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期中数学试题含解析

湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题

1．已知集合，若，则实数的值为（    ）

A．2 B．1 C．1或2 D．1或2或-1

【答案】A

【分析】

推导出，从而，或，或，再利用集合中元素的互异性能求出实数．

【详解】

集合，3，，，，，

，

，或，或，

解得或，或，

当时，，3，，不成立；

当时，，3，，不成立；

当时，，3，，，，成立．

故实数．

故选：A．

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断可得；

【详解】

解：命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题即

故选：D

3．下列说法正确的是（    ）

A．的充要条件是 B．若，则

C．是的充分不必要条件 D．若，则

【答案】C

【分析】

利用举反例，作差法及简易逻辑的判定方法判断出正误．

【详解】

．当时，有成立，而此时不满足，

反之，，当时，，不满足，故错误；

．若，则 ，所以 ，，

 所以”，故错误；

．时，成立，反之当时，，但不满足，因此是的充分不必要条件，正确；

．若，则，所以，因此不正确．

故选：．

4．设集合，，给出下列四个图形，其中能表示以集合为定义域，为值域的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

试题分析：选项A中定义域为，选项C的图像不是函数图像，选项D中的值域不对，选B．

考点：函数的概念

5．已知函数和的定义如下表格所示，则不等式的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由表格中自变量对和的函数值，分别确定的值并比较大小，即可得不等式的解集.

【详解】

由表格知：

当时，，则，

当时，，则，

当时，，则，

综上，的解为.

故选：C

6．已知函数满足，则的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

将换成得出关系式算出的表达式,再代入算.

【详解】

由,将换成有,

即,故有

,两式相减化简得

,故.

故选C.

【点睛】

已知,故可以考虑将换成再得出新的关系式,从而算得.

7．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

设，得到，，在直角中，利用勾股定理，求得，结合，即可求解.

【详解】

设，可得圆的半径为，

又由，

在直角中，可得，

因为，所以，当且仅当时取等号．

故选：D.

8．函数的图象如图，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由图象可得的定义域为、，即可得到的值，然后可解出不等式.

【详解】

由图象可得的定义域为，所以

然后可得，所以

所以，

当或者时，，所以不成立

当时，由可得，即，所以

故选：D

9．设集合，，若集合，则P可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】

首先求，再根据，结合选项，即可判断.

【详解】

因为，，

所以或，或，

因为集合，所以集合可以是AB.

故选：AB

10．已知不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．不等式的解集为或

【答案】ABC

【分析】

根据题意，先判断a的符号，然后结合根与系数的关系，进而得到的关系，最后得到答案.

【详解】

因为不等式的解集是，所以，

于是A,B正确；，C正确；

对D，不等式可化为：，因为a<0，所以，解得： .

故选：ABC.

11．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【分析】

对A，利用基本不等式得到，进而结合不等式的性质对不等式进行变形，最后得到答案；

对B，根据基本不等式，代特值即可判断；

对C，根据条件得到，进而利用基本不等式得到答案；

对D，利用条件得到，然后对式子进行消元，进而通过二次函数的角度求出答案.

【详解】

由题意，，

对A，因为，当且仅当

时取“=”；

对B，原不等式等价于，显然，当时，该不等式不成立，故错误；

对C，由，所以，当且仅当时取“=”，故正确；

对D，由，于是，

当时取“=”，故D正确.

故选：ACD.

12．已知函数的定义域为A，集合．则“使得成立”的充分条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】

可得，，然后可得“使得成立”的充要条件，然后可选出答案.

【详解】

由可得，即

所以“使得成立”的充要条件是，解得

故选：AD

13．已知函数，则=________

【答案】1

【分析】

由，代入即可求解函数值

【详解】

根据题意，函数，

则，

故答案为：1

14．已知是一次函数，其图像不经过第四象限，且，则=________

【答案】

【分析】

设，所以，然后解出的值即可.

【详解】

设，所以

所以，解得或

所以或，因为的图像不经过第四象限

所以

故答案为：

15．已知集合A、B、U，满足，，且时，称集合对为集合U的最优子集对若，则集合U的最优子集对的对数为________.

【答案】9

【分析】

根据最优子集对的定义，当时，写出集合的所有可能情况即可．

【详解】

解析当时，，此时有1对；当时，B可以为或，此时有2对；当时，B可以为或，此时有2对；当时，B可以为或或或，此时有4对.因此共有9对.

故答案：9.

【点睛】

本题考查对新定义最优子集对的理解，属于基础题．

16．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客实际得到的黄金___（填>、<或=）杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂

【答案】>

【分析】

由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为（），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，利用杠杆的平衡原理可得，，再结合基本不等式比较与10的大小即可．

【详解】

由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，

再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，

，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即．因此，顾客购得的黄金大于．

故答案为：>

17．已知集合或.

（1）分别求和；

（2）若集合，若是充分不必要条件的，求实数的取值范围．

【答案】（1），或；（2）．

【分析】

（1）解一元二次不等式求集合A，应用集合交、补运算求、、，最后由集合并运算求.

（2）根据题设充分不必要条件有，结合已知列不等式求的取值范围．

【详解】

（1）由题设，，而或，

∴，

又或，，

∴或.

（2）由题设知：，显然，即不为空集，

∴，解得.

18．已知．

（1）求；

（2）若，求的值；

（3）求函数的值域．

【答案】（1）；（2）或；（3）．

【分析】

（1）代入计算，可得（1）的值．

（2）利用换元法先求得的表达式，解方程即可.

（3）由（2）可得的解析式，再利用二次函数求值域的方法求解．

【详解】

（1），将代入，

（1）．

（2）若，则所以将代入，

则，则

所以或；

（3）由（2）可得，

所以，

又，所以值域为．

19．正数x，y满足.

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值．

【答案】(1)36；(2)

【分析】

(1)由基本不等式可得，再求解即可；

(2)由，再求解即可.

【详解】

解：(1)由得xy≥36，当且仅当，即时取等号，

故xy的最小值为36.

(2)由题意可得，

当且仅当，即时取等号，

故x＋2y的最小值为.

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题.

20．设函数．

（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；

（2）解不等式．

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【分析】

（1）分别在和两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；

（2）将不等式整理为，分别在，和三种情况下求得结果.

【详解】

（1）由知：，

当时，，满足题意；

当时，则，解得：；

综上所述：的取值范围为．

（2）由得，

即，即；

当时，解得：；当时，解得；当时，解集为．

综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．

21．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．

（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？

（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值．

【答案】（1）6；（2）．

【分析】

（1）解出不等式即可；

（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度，然后利用基本不等式求出，然后解出不等式即可.

【详解】

（1）因为一次喷洒个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为，

当时，令，解得，所以；

当时，令，解得，所以．

综上，可得，即一次投放个单位的去污剂，有效去污时间可达6天．

（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度，

因为，而，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，令，解得，

所以的最小值为．

22．已知二次函数．

（1）当时，若函数定义域与值域完全相同，求的值；

（2）若的两实数根均在内，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）由题设且开口向下且对称轴为，即可求的定义域，进而确定的值域，即可得的值域，结合定义域与值域完全相同即可求的值；

（2）由题设有的两实根在内，利用二次函数的性质列不等式组求的取值范围．

【详解】

（1）由题设，，又即开口向下且对称轴为，

∴，解得，即的定义域为，

∴，则的值域为，

由定义域与值域完全相同，即，解得.

（2）由题设，的两实根在内，若，

由，∴，解得.