2021-2022华中师范大学第一附属中学高一下学期期中数学试题

华中师大一附中2021-2022学年度第二学期期中检测

高一年级数学试题

本试卷分四个大题，满分150分，考试用时90分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）

1．已知复数（为虚数单位），则z的共轭复数（       ）

A． B． C． D．

2．已知向量，满足，且．则向量与向量的夹角是（       ）

A． B． C． D．

3．函数图象的大致形状为（       ）

A． B．

C． D．

4．已知，“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的（       ）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既非充分又非必要

5．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是(       )

A．   B．     C．   D．

6．已知复数满足：（为虚数单位），且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（       ）

A．            B．          C．           D．

7．中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（       ）

A．有一个角是的等腰三角形                 B．等边三角形

C．三边均不相等的直角三角形                 D．等腰直角三角形

8．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（       ）

A．                          B．

C．

D．长方体的体积

二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得3分，共20分）

9．定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（       ）

A．若，则                  B．

C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于

D．若，，则的最小值为

10．已知函数，下列说法正确的是（       ）

A．是周期函数                   B．若，则

C．在区间上是增函数       D．函数在区间上有且仅有1个零点

11．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（       ）

A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±I           B．若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数

C．若，则z的虚部为－2i      D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为

12．已知的内角分别为，满足，且，则以下说法中正确的有（       ）

A．若为直角三角形，则；      B．若，则为等腰三角形；

C．若，则的面积为；    D．若，则．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________．

14．在中，内角的对边分别为，且， ，则外接圆的面积为______.

15．已知是虚数单位，则________.

16．半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为___________；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为___________.

四  解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知复数，其中i为虚数单位．

(1)若z是纯虚数，求实数m的值；

(2)若m＝2，设，试求a＋b的值．

18．设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角．

(1)证明：；               (2)求的取值范围．

19．已知函数，其中．

(1)求使得的取值范围；

(2)为锐角三角形，O为其外心，，令，求实数t的取值范围．

20．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.

（1）将、用含有的关系式表示出来；

（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？

21．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接

(1)证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

(2)记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值；

(3)若面与面所成二面角的大小为，求的值．

22．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为称为函数的“相伴向量"

（1）设函数，求函数的相伴向量

（2）记的“相伴函数"为，若方程在区间[0，2]上有且仅有四个不同的实数解，求实数的取值范围；

（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围.