专训06 因式分解法解一元二次方程-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训六、因式分解法解一元二次方程

牛刀小试

1．（2021·桂林·广西师大附属外国语学校月考）方程x2＝3x的解为（　　）

A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．

【详解】

∵x2﹣3x＝0，

∴x(x﹣3)＝0，

∴x＝0或x﹣3＝0，

解得：x1＝0，x2＝3．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．

2．（2021·东莞市石碣中学月考）一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．

【答案】x1=0，x2=1

【解析】

【分析】

方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

【详解】

方程变形得：x（x﹣1）=0，

可得x=0或x﹣1=0，

解得：x1=0，x2=1．

故答案为x1=0，x2=1．

【点睛】

此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．

3．（2021·安徽安庆·期中）方程的根是______________________；

【答案】，．

【解析】

【分析】

把右边的项移到左边，提公因式法因式分解求出方程的根．

【详解】

解：

或

，．

故答案是：，．

【点睛】

本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解可以求出方程的根．注意方程两边不能同时除以（x+2），因为（x+2）可能为0.

4．（2021·江门市培英初级中学月考）解方程：

【答案】x1=2，x2=4．

【解析】

【分析】

把方程左边分解得到(x﹣2)(x﹣4)=0，则原方程可化为x﹣2=0或x﹣4=0，然后解两个一次方程即可．

【详解】

x2﹣6x+8=0

(x﹣2)(x﹣4)=0，

∴x﹣2=0或x﹣4=0，

∴x1=2，x2=4．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．

5．（2021·安徽濉溪·期末）解方程．

【答案】或

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的性质计算，即可得到答案．

【详解】

∵

∴

∴

∴或．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．

6．（2021·黄山市徽州区第二中学初三一模）解下列方程

（1）x2-8x+12=0

（2）3x（x-1）=2-2x．

【答案】（1）x1=2，x2=6；（2）x1=1，x2=．

【解析】

【分析】

（1）利用十字相乘法解方程即可；

（1）利用提取公因式法解方程即可；

【详解】

解：（1）（x-2）（x-6）=0，

x-2=0或x-6=0

所以x1=2，x2=6；

（2）3x（x-1）+2（x-1）=0，

（x-1）（3x+2）=0，

x-1=0或3x+2=0，

所以x1=1，．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．

熟能生巧

7．（2021·齐齐哈尔市第二十八中学月考）三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（　　）

A．24 B．48 C．24或8 D．8

【答案】C

【解析】

试题分析：x2-16x+60=0（x-6）（x-10）=0，

∴x=6或x=10．

当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形．

∴高h=，

∴三角形的面积是8×÷2=，

当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形．

∴三角形的面积是6×8÷2=24，∴S=24或.

故选C．

考点：一元二次方程的解法；分类讨论思想；三角形的面积

8．（2021·安徽濉溪·期末）现定义运算“★”，对于任意实数，，都有，如，若，则实数的值为（   ）

A．-4或-1 B．4或-1 C．4或-2 D．-4或2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据新定义a★b=a2-3a+b，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解．

【详解】

依题意,原方程化为x2−3x+2=6，

即x2−3x−4=0，

分解因式,得(x+1)(x−4)=0，

解得x1=−1,x2=4.

故选B.

【点睛】

此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则.

9．（2021·淮南市龙湖中学月考）解方程：2x－6＝3x(x－3)．

小明是这样解答的：

将方程左边分解因式，得2(x－3)＝3x(x－3)．……第一步

方程两边同时除以(x－3)，得2＝3x.……第二步

解得x＝.……第三步

(1)小明的解法从第________步开始出现错误；

(2)写出正确的解答过程．

【答案】（1）二；（2）答案见解析．

【解析】

【分析】

首先判定小明的解法从第二步开始出现错误，再利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可．

【详解】

（1）小明的解法从第二步开始出现错误；

（2）2x﹣6=3x（x﹣3）

　2（x﹣3）=3x（x﹣3）

　2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0

（x﹣3）（2﹣3x）=0

x﹣3=0，2﹣3x=0

x1=3，x2=．

【点睛】

本题考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．

10．（2021·安徽临泉·）对于实数a，b，定义运算：如下，若，求x的值．

【答案】，

【解析】

【分析】

根据定义运算的运算方法，把和整体代入，解方程即可．

【详解】

解：∵

∴

∴

解得：

【点睛】

本题主要考查了完全平方的计算，解一元二次方程等知识点，熟练运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．

庖丁解牛

11．（2018·安徽泗县·初三月考）先阅读，再解题

解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化y2﹣5y+4=0，解得y1=1；y2=4，当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2，当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5

请利用上述这种方法解方程：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0．

【答案】x1=-1，x2=-2．

【解析】

【分析】

【详解】

解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设y=2x+5，

方程可以变为 y2﹣4y+3=0，则（y-1）（y-3）=0

∴y1=1，y2=3，

当y=1时，即2x+5=1，解得x1=﹣2；

当y=3时，即2x+5=3，解得x2=﹣1，

所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．

故答案为x1=﹣2，x2=﹣1．

【考点】

换元法解一元二次方程．