专题13 圆中的面积综合问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题13 圆中的面积综合问题
1、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为 E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若AB＝12，AD＝6，连接OD，求扇形BOD的面积．

证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）连接半径OD，
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵AB＝12，AD＝6，
∴sinB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∴S扇形BOD＝＝6π．

2、如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

（1）证明：连接OE，
∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAE+∠EAO＝90°，
∴∠CEA+∠AEO＝90°，
即∠CEO＝90°，
∴OE⊥CD，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：设OF＝x，
∵∠OAF＝30°，OF⊥AF，
∴OA＝2OF＝2x，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：，
解得x＝2，
∴OA＝4，
∴，
∵∠AOE＝120°，AO＝4；
∴，
∴．

3、如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
∵∠DBC+∠ABD＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，
∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝∠FBD，
∵OE∥BD，
∴∠FBD＝∠OEB，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠CBD＝∠OEB＝∠OBE＝∠ADB＝90°＝30°，
∴∠C＝60°，
∴AB＝BC＝2，
∴⊙O的半径为，
∴阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积＝．

4、如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，AB＝AM．
（1）求证：△ABM∽△ECA．
（2）当CM＝4OM时，求BM的长；
（3）当CM＝k•OM时，设△ADE的面积为S1，△MCD的面积为S2，求的值．（用含k的代数式表示）．

证明：（1）∵AE∥BD，
∴∠AMB＝∠CAE，
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ABM∽△ECA；

（2）解：∵AB＝AM，△ABM∽△ECA，
∴AE＝CE，
∵CM＝4OM，
∴可以假设OM＝k，CM＝4k，
∴OA＝OC＝5k＝5，
∴k＝1，
∴AM＝6，CM＝4，
∵DM∥AE，
∴DM：AE＝CM：CA＝4：10，
设DM＝4m，则EA＝EC＝10m，
∵AB＝AM，
∴∠ABM＝∠AMB，
∵∠AMB＝∠DMC，∠B＝∠C，
∴∠DMC＝∠C，
∴DM＝DC＝4m，
∴DE＝EC﹣DC＝6m，
∵AC是直径，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝8m，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（8m）2+（4m）2＝102
∵m＞0，
∴m＝，
∵△AMB∽△DMC，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝．

（3）设△CDM的面积为x．
∵CM＝kOM，
∴OM＝，CM＝，AM＝5+＝，
∴AC：CM＝（2+2k）：k，
∴△ACD的面积＝•x，
∵DM∥AE，
∴CD：DE＝CM：AM＝k：（2+k），
∴△ADE的面积＝••x，
∴＝．


5、如图1，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点M为AB中点，点D在弧上，连接CD、BD，点G是CD的中点，连结MG．
（1）求证：MG⊥CD；
（2）如图2，若AC＝BC，AD平分∠BAC，AD与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，求证：CF＝CE；
（3）在（2）的条件下，若OG•DE＝3（2﹣），求⊙O的面积．

（1）证明：如图1中，

∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，点M与O重合，
∴∠ADB＝90°，[来源:Zxxk.Com]
∵OA＝OB，
∴CO＝AB，OD＝AB，
∴CO＝OD，∵CG＝GD，
∴CG⊥CD，
即MG⊥CD．

（2）证明：如图2中，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF，
∴CE＝CF．


（3）解：过点O作OH⊥BD于H，则BH＝DH，

则OH＝AD，即AD＝2OH，
又∵∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
∴OH＝OG，
∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴BD：AD＝DE：BD，
∴BD2＝AD•DE＝2OH•DE＝2OG•DE＝6（2﹣），
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AD⊥BF，
而AD平分∠BAC，
∴AB＝AF，
∴BD＝FD，
∴BF＝2BD，
∴BF2＝4BD2＝24（2﹣），
设AC＝x，则BC＝x，AB＝x，
∴AF＝x，
∴CF＝AF﹣AC＝x﹣x＝（ ﹣1）x，
在Rt△BCF中，∵CF2+BC2＝BF2，
∴[﹣1）x]2+x2＝24（2﹣），
∴x2＝12，解得x＝2 或x＝﹣2 （舍去），
∴AB＝x＝2 ，
∴OA＝，
∴⊙O面积＝π•（ ）2＝6π．
6、如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连结AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．


（1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC．
∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；

（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°，
∴AP＝AB＝2，[来源:学科网ZXXK]
∴BP＝＝＝2；

②连接OP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝120°．
∵点O时AB的中点，
∴S△POB＝S△PAB＝×AP•PB＝×2×2＝，
∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB
＝﹣
＝π﹣．

7、如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为弧BE的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC，连接BD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径R＝5cm，AB＝8cm，求△ABD的面积．

（1）证明：连接OA，OD．
∵点D是弧BE的中点，
∴∠BOD＝∠EOD＝90°，
∴∠ODF+∠OFD＝90°
又∵∠OFD＝∠AFC，
∴∠ODF+∠AFC＝90°
又∵AC＝FC，
∴∠AFC＝∠CAF，
∵OA＝OD，
∴∠ODF＝∠OAF，
∴∠OAF+∠CAF＝90°，
即∠OAC＝90°，
故AC是⊙O的切线；

（2）解：过点B作BG⊥AD于G，
∵∠BOD＝90°，OB＝OD＝R＝5，
∴，
∵点D是弧BE的中点，
∴∠BAD＝45°，
∵∠AGB＝90°，
∴∠ABG＝∠BAD＝45°，即BG＝AG．
∴2BG2＝AB2＝82，
∴
又∵，
∴
故S△ABD＝AD•BG＝＝28（cm2）．

8、如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的径为4．
①当OD＝3，求AD的长度；
②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．

（1）证明：连接AF，
∵BF为⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°，
∴∠BGF+∠AFG＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，
∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，
又∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线；

（2）解：①连接CF，则∠ACF＝∠ABF，
∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAO＝∠ACF，
∴AO∥CF，
∴＝，
∵半径是4，OD＝3，
∴DF＝1，BD＝7，
∴＝＝3，即CD＝AD，
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC，
∴＝，
∴AD•CD＝BD•DF，
∴AD•CD＝7，即AD2＝7，
∴AD＝（取正值）；

②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，
∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，
当∠ODC＝90°时，
∵∠ACO＝∠ACF，
∴OD＝DF＝2，BD＝6，
∴AD＝CD，
∴AD•CD＝AD2＝12，
∴AD＝2，AC＝4，
∴S△ABC＝×4×6＝12；
当∠COD＝90°时，
∵OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝4，
延长AO交BC于点M，[来源:学+科+网]
则AM⊥BC，
∴MO＝2，
∴AM＝4+2，
∴S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，
∴△ABC的面积为12或8+8．

9、如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．

证明：（1）连接DO，如图，

∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中

∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CE，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设圆O的半径为R，
则OD＝R，OE＝R+1，
∵CD是圆O的切线，
∴∠EDO＝90°，
∴ED2+OD2＝OE2，
∴9+R2＝（R+1）2，
∴R＝4，
∴圆O的半径为4；
（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，
∴AD＝4，
∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．
10、如图1，点E在矩形ABCD的边AD上，AD＝6，tan∠ACD＝，连接CE，线段CE绕点C旋转90°，得到线段CF，以线段EF为直径做⊙O．
（1）请说明点C一定在⊙O上的理由；
（2）点M在⊙O上，如图2，MC为⊙O的直径，求证：点M到AD的距离等于线段DE的长；
（3）当△AEM面积取得最大值时，求⊙O半径的长；[来源:学科网]
（4）当⊙O与矩形ABCD的边相切时，计算扇形OCF的面积．

（1）解：点C一定在⊙O上的理由如下：
连接OC，如图1所示：
由旋转的性质得：∠ECF＝90°，
∵EF是⊙O的直径，O为圆心，
∴OE＝OF，
∴OC＝OE＝OF，
∴点C一定在⊙O上；
（2）证明：由旋转的性质得：∠ECF＝90°，CE＝CF，
∵OE＝OF，
∴CO⊥EF，
∵MC为⊙O的直径，
∴CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，
∴EM＝CE，
过点M作MN⊥AD于N，如图2所示：
∵∠DEC+∠DCE＝90°，∠DEC+∠DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠DCE，
在△MEN和△CED中，，
∴△MEN≌△CED（AAS），
∴MN＝DE，即点M到AD的距离等于线段DE的长；
（3）解：∵点E在矩形ABCD的边AD上，AD＝6，
∴∠D＝90°，设AE＝x，则DE＝6﹣x，
由（2）得：点M到AD的距离等于线段DE的长，
∴S△AEM＝×x×（6﹣x）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，
∴当x＝3时，△AEM面积取得最大值，
此时，DE＝6﹣3＝3，
∵tan∠ACD＝＝，
∴CD＝＝4，
由勾股定理得：CE2＝DE2+CD2，即CE2＝32+42，
∴CE＝5，
由（2）得：CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，
∴∠CEF＝45°，
在Rt△CEF中，EF＝＝＝5，
∴⊙O半径的长为；
（4）解：当⊙O与矩形ABCD的边相切时，只有点O与点D重合时存在，
此时⊙O半径r＝CD＝4，∠COF＝90°，
∴扇形OCF的面积＝＝4π．


11、如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．

解：（1）∵OC⊥DE，
∴DC＝EC＝DE＝×2＝，
∵弦DE垂直平分半径OA，
∴OC＝OA＝OE，
在Rt△OCE中，∵OE＝2OC，
∴∠E＝30°，
∴OC＝CE＝1，
∴OE＝2，
即⊙O的半径为2；
（2）连结OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如图，
∵∠DPA＝45°，
∴∠DDC＝45°，
∴∠EOF＝2∠EPF＝90°，△PCD为等腰直角三角形，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形EOF﹣S△OEF
＝﹣•2•2
＝π﹣2；
∵BC＝AB﹣AC＝4﹣1＝3，
而DC＝，
∴BD＝＝2，
∵BC垂直平分DE，
∴BD＝BE＝2，
∵BD＝DE＝BE，
∴△BED为等边三角形，
∴∠BED＝60°，
∴∠BFD＝∠BED＝60°，
∵△PCD为等腰直角三角形，
∴PC＝DC＝，
∴OP＝PC﹣OC＝﹣1，
∴PB＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
在Rt△PBH中，∠BPH＝∠DPC＝45°，
∴BH＝PH＝PB＝，
在Rt△BHF中，∠HBF＝30°，
∴HF＝BH＝•＝，
∴PF＝PH+HF＝+＝，
∴S△PBF＝••＝．

12、如图，BE为⊙O的直径，C为线段BE延长线上一点，CA为⊙O的切线，A为切点，连AB，AE，AO．∠C＝30°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：BO＝CE；
（3）已知⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

（1）解：∵CA为⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，
由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOC＝30°；
（2）证明：在Rt△AOC中，∠C＝30°，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB＝OE，
∴OB＝CE；
（3）解：在Rt△AOC中，AC＝＝6，
∴图中阴影部分的面积＝×6×6﹣＝18﹣6π．
13、如图，已知⊙O的两条直径AB，CD互相垂直，过BA延长线上一点P作PE切⊙O于点E，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE．
（1）求证：∠PEA＝∠AEF；
（2）若AP＝AE，PE＝6．求PB的长；
（3）连接PD交⊙O于点G，连接OG，FD，若∠AOG＝∠FDO，OD＝2．求四边形AGDB的面积．

（1）证明：连接OE．
∵PE切⊙O于点E，
∴∠PEO＝90°．
∴∠PEA+∠OEA＝90°．
∵EF⊥AB，
∴∠AGF+∠GAO＝90°．
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠PEA＝∠AEF．

（2）解：∵AP＝AE，
∴∠EPA＝∠PEA．
∴∠EPA＝∠PEA＝∠AEF．
∴∠EPA+∠PEF＝90°．
∴3∠EPA＝90°．[来源:学科网]
∴∠EPA＝30°．
∴tan∠EPO＝＝＝，
∴OE＝2
∴OP＝＝4，
∴PB＝PO+OB＝PO+OE＝6
∴PB的长为6．

（3）解：过点G作GH⊥OA于点H．
∵∠EFO＝∠PEO＝90°，∠EOF＝∠POE，
∴△OFE∽△OEP．
∴＝，
∵OE＝OD，
∴＝，
∵∠FOD＝∠DOP，设∠FOD＝∠DOP＝α，
∴△FOD∽△DOP．
∴∠FDO＝∠DPO．
∵∠POG＝∠FDO，
∴∠POG＝∠DPO＝α．
∴∠OGD＝2α，
∵OG＝OD，
∴∠ODG＝∠OED＝2α．
∵∠POD＝90°，
∴α+2α＝90°．
∴α＝30°．
∴∠PDO＝60°．
∵GH⊥AO，
∴GH＝OG＝OD＝1．
在Rt△POD中，
tan∠PDO＝＝＝，
∴OP＝2
∴AP＝OP﹣OA＝OP﹣OD＝2﹣2．
∴S四边形AGDB＝S△DBP﹣S△GAP
＝BP•OD﹣AP•GH
＝×（2+2）×2﹣×（2﹣2）×1
＝3+
∴四边形AEDB的面积为3+．

14、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为 E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若AB＝12，AD＝6，连接OD，求扇形BOD的面积．

证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）连接半径OD，
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵AB＝12，AD＝6，
∴sinB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∴S扇形BOD＝＝6π．