专题03 求弓形的面积问题中圆的应用-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题03 求弓形的面积问题中圆的应用 【知识精讲】弓形的面积(1)如图①，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S弓形＝S扇形－S△OAB；(2)如图②，当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S弓形＝S扇形＋S△OAB；(3)如图③，当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，即S弓形＝S圆．【精典例题】1、如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2.以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E.交AD的延长线于点F.则图中阴影部分的面积是(　A　)A．4π－4  B．4π－8C．8π－4  D．8π－82、如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为(　C　)[来源:Zxxk.Com]A.π  B．π－C.   D.π＋3、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为(　　)A．25π－6   B.－6[来源:Zxxk.Com]C.－6   D.－64、如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为__π－__．5、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．     参考答案【精典例题】1、如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2.以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E.交AD的延长线于点F.则图中阴影部分的面积是(　A　)A．4π－4  B．4π－8C．8π－4  D．8π－8【解析】 根据对称，阴影部分的面积可以转化为答图，答图则S阴影＝S扇形－S△ABD＝－×4×2＝4π－4.2、如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为(　C　)A.π  B．π－C.   D.π＋【解析】 在Rt△AOB中，AB＝＝，S半圆＝π×＝，S△AOB＝OB×OA＝，S扇形OBA＝＝，故S阴影＝S半圆＋S△AOB－S扇形AOB＝.故选C.3、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为(　D　)A．25π－6   B.－6C.－6   D.－64、如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为__π－__．【解析】 如答图，连结OE，过O点作OF⊥BE，答图[来源:学|科|网Z|X|X|K]垂足为F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∠D＝∠B＝30°，∴OB＝2.∵OF⊥BE，∴OF＝1，BF＝，∠BOF＝60°，∴∠BOE＝120°，BE＝2，∴S阴影＝S扇形OBE－S△OBE＝π×22－＝π－.5、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：如答图，连结OC.答图[来源:Zxxk.Com]∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∵∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴∠BOC＝60°，OD＝2OC.∴∠AOC＝120°，∠A＝30°.设⊙O的半径为x，则OB＝OC＝x.∴x＋2＝2x，解得x＝2.[来源:Z§xx§k.Com]过点O作OE⊥AC，垂足为点E，则AE＝CE，在Rt△OEA中，OE＝OA＝1，AE＝＝.∴AC＝2.∴S阴影＝S扇形OAC－S△OAC＝－×2×1＝π－.