2022-2023学年天津市河西区高一上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年天津市河西区高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接计算，进而计算.

【详解】由，，

得，

所以，

故选：B.

2．已知：，：，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】由可得，或，，

所以由推不出，，由，，可以推出，

故是的必要不充分条件.

故选：B.

3．命题：p：的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定判断即可.

【详解】命题，的否定为，.

故选：C.

4．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D；

【详解】解：对于A：当时，故A错误；

对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误；

对于C：由，则，，所以，故C错误；

对于D：由，所以，所以，故D正确；

故选：D

5．下列函数与是同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据定义域和对应法则判断即可.

【详解】A选项：定义域为R，定义域为，定义域不相同，故A错；

B选项：定义域为R，定义域为，定义域不相同，故B错；

C选项：，的定义域为R，且，定义域和对应法则相同，故C正确；

D选项：定义域为，定义域为，定义域不相同，故D错.

故选：C.

6．一元二次不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接解一元二次不等式即可.

【详解】由，即，

解得，

故选：A.

7．已知函数的最小值和最大值分别是（    ）

A．0和4 B．和4

C．无最小值，最大值为4 D．最小值为4，无最大值

【答案】D

【分析】根据，，讨论，即可去掉绝对值符号，从而得到结果.

【详解】依题可知，当时，，

当时，

当时，

综上所述，函数无最大值，最小值为

故选:D.

8．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性与单调性及函数的正负情况判断函数图象.

【详解】由，得，

所以函数为奇函数，故A选项错误；

又当时，，故C选项错误；

当时，，函数单调递增，且时，，故B选项错误，D选项正确；

故选：D.

9．已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合已知条件，利用函数单调性求出的解集，进而即可得到答案.

【详解】因为是上的增函数，且，是其图象上的两点，

所以；，

即或，

因为，

所以或，即或，

故的解集是.

故选：C.

二、填空题

10．已知集合，则__________.

【答案】

【分析】根据交集的定义，即可求解.

【详解】因为，

所以.

故答案为：

11．已知幂函数的图象过点，则的解析式为__________.

【答案】

【分析】首先设幂函数的解析式，再代入点，求函数的解析式.

【详解】设幂函数，，解得：，

所以函数的解析式为.

故答案为：

12．函数的定义域为______.

【答案】

【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案

【详解】由题意得，解得且，

所以函数的定义域为，

故答案为：

13．已知，，则的最小值为______.

【答案】2

【分析】变形，然后利用均值不等式转化求解

【详解】因为，，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为2，

故答案为：2

14．已知函数在[5，20]上具有单调性，实数k的取值范围是____________

【答案】

【详解】函数在上具有单调性，

只需或，即或

∴实数k的取值范围为

三、双空题

15．已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．

【答案】         

【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.

【详解】由已知，，

所以，

当时，由可得，所以，

当时，由可得，所以，

等价于，所以，

所以的最大值为.

故答案为：，.

四、解答题

16．已知，且.

(1)求的最小值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据基本不等式的性质进行求解即可；

（2）利用对钩函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）因为，

所以有，当且仅当时取等号，

因为，

所以由，或（舍去），因此，所以当时，有最小值；

（2）因为，

所以，

令，令，

因为函数在时函数单调递增，

所以函数在时也函数单调递增，

因此当时，函数有最小值，最小值为，

因此当时，有最小值.

17．已知数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式对一切实数均成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将代入得到不等式，解不等式即可；

（2）分和两种情况讨论求的范围即可.

【详解】（1）当时，不等式为，整理得，解得，所以不等式的解集为.

（2）不等式对一切实数均成立，

①当时，，成立；

②当时，，解得，

综上所述，.

18．某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：

(1)将利润（单位：元）表示成月产量x的函数

(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）

【答案】(1)

(2)当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000

【分析】（1）根据题意建立函数关系式，写出分段函数形式；

（2）分别求各段的最大值，即可求出公司利润最大值及取最大值时的产量.

【详解】（1）由题意可得：

当时，；

当时，；

所以.

（2）当时，，即最大值为25000；

当时，为减函数，所以当时，，故.

即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.

【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：

（1）求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

（2）求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.