备考2022中考数学一轮专题复习学案20 圆

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备考2022中考数学一轮专题复习学案20
圆

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
圆心角、圆周角
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；②了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征
常以选择题、填空题、解答题的形式考查圆心角、圆周角定理的简单运用
2
圆的对称性
探索圆的性质，理解并会运用垂径定理及其推论
常以选择题、填空题、解答题的形式考查垂径定理及其推论的综合运用
3
点与圆、直线与圆的位置关系
①探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系；②了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；③了解三角形的内心和外心
常以选择题、填空题、解答题的形式考查直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、判定以及三角形的内心和外心
4
圆与圆的位置关系
探索并了解圆与圆的位置关系
常以选择题、填空题的形式考查圆与圆的位置关系
5
弧长和扇形的面积
会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积
常以选择题、填空题的形式考查弧长、扇形的面积和圆锥的侧面积、全面积

知识点1：与圆有关的概念


知识点梳理

1.圆的定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.

2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如下图中的AB）

3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.
4.直径：经过圆心的弦叫做直径（如上图中的CD）.直径等于半径的2倍.
5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
6.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
7.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
9.垂径定理及其推论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
10.圆的对称性：
（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.
典型例题

【例1】（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10 m．则这段弯路所在圆的半径为(　　)
A. 25 m B. 24 m C. 30 m D. 60 m

【答案】A．
【解答】如下图，连接OD，∵C是的中点，D是AB的中点，AO＝BO，∴点O、D、C三点共线，∴AB⊥OC，∴AD＝AB＝×40＝20 m，∴△AOD是直角三角形，设OA＝r，则OD＝r－CD＝r－10，在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25 m.

【答案】．
【解答】
【例2】（2019·保定一模）如图，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为________厘米．

【答案】．
【解答】∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，∴AC＝9－3＝6厘米，如解图，过点O作OB⊥AC于点B，则AB＝AC＝×6＝3厘米，设杯口的半径为r，则OB＝r－2，OA＝r，在Rt△AOB中，OA2＝OB2＋AB2，即r2＝(r－2)2＋32，解得r＝厘米．

知识点2： 与圆有关的角


1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
3.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
典型例题

【例3】（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为(　　)
A. 60° B. 50° C. 40° D. 20°

【答案】B．
【解答】如下图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠DAB＋∠DBA＝90°.∵∠BCD＝40°，∴∠DAB＝∠BCD＝40°.∴∠ABD＝90°－∠DAB＝90°－40°＝50°.

知识点3：与圆有关的位置关系


知识点梳理

1．点与圆的位置关系：
(1)设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r；
②点P在圆内⇔d＜r；
③点P在圆上⇔d＝r.
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆．
2．直线与圆的位置关系：
(1)直线和圆有三种位置关系，具体如下：
①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
(2)如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
①直线l与⊙O相交dr；
(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(4)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
(5)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
(6)三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点．
(7)三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
3．圆和圆的位置关系：
(1)圆和圆的位置关系
①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种.
②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种.
③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交.
(2)圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距.
(3)圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
①两圆外离d>R+r
②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-rDB C. DI