专题20 圆 —— 2022年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件

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2021年中考数学一轮专题复习20 圆
1.圆的定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（如下图中的AB）．3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
4.直径：经过圆心的弦叫做直径（如上图中的CD）．直径等于半径的2倍．5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．6.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“ ”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．7.等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相重合的弧叫做等弧．8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
9.垂径定理及其推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．10.圆的对称性： （1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．
【例1】（2020•青海9/28）已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴ ， ，在Rt△OAE中， ，在Rt△OAE中， ，当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OF+OE=4+3=7 cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF-OE=4-3=1 cm；综上所述，AB与CD之间的距离为1 cm或7 cm．故答案为1或7．
【例2】（2020•宁夏12/26）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．
【解答】解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴ 尺=5寸，设半径OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r-1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2，解得：r=13，∴木材直径为26寸．故答案为：26．
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
【例3】（2020•海南10/22）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于（ ） A．54° B．56° C．64 D．66°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠DAB=∠BCD=36°，∴∠ABD=∠ADB-∠DAB=90°-36°=54°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
【例4】（2020•福建9/25）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为 中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：如图，连接OA、OB、OD、OC，∵∠BDC=60°，∴∠BOC=2∠BDC=120°，∵AB=CD，∴∠AOB=∠DOC，∵A为 的中点，∴ ，∴∠AOB=∠AOD，∴ ，∴ ，故选：A．
1．点与圆的位置关系：（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆内⇔d＜r； ③点P在圆上⇔d＝r．（2）不在同一直线上的三点确定一个圆．
2．直线与圆的位置关系：（1）直线和圆有三种位置关系，具体如下：①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点．②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线．③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
（2）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： ①直线l与⊙O相交⇔dr；
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（4）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．（5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（6）三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点．（7）三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
3．圆和圆的位置关系：（1）圆和圆的位置关系： ①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种． ②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种． ③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．（2）圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距．
（3）圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 ①两圆外离⇔d>R+r ②两圆外切⇔d=R+r ③两圆相交⇔R-r