备考2022中考数学一轮专题复习学案22 锐角三角函数

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备考2022中考数学一轮专题复习学案22
锐角三角函数

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
直角三角形
①了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件；②体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形
常以选择题、填空题、证明题的形式考查直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件，其中勾股定理及其逆定理是考查的重点
2
锐角三角函数
通过实例认识锐角三角函数，知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角
常以选择题、填空题的形式考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值的计算等
3
解直角三角形
①会利用锐角三角函数解直角三角形；
②能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题
常以选择题、填空题、解答题的形式考查运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题，以应用题为主

知识点1：直角三角形


知识点梳理


1.直角三角形的性质：
(1)直角三角形的两锐角互余，有两个角互余的三角形是直角三角形．
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
(3)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
2.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
典型例题

【例1】（2019·郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（ ）
A. B. 2 C. D. 4

【答案】B．　
【解析】设正方形ADOF的边长为x，则AB＝x＋4，AC＝x＋6.∵△BOD≌△BOE，∴BE＝BD＝4.∵△COE≌△COF，∴CE＝CF＝6.∴BC＝BE＋CE＝4＋6＝10.∵∠A＝90°，∴AB2＋AC2＝BC2.∴(x＋4)2＋(x＋6)2＝102.解得x1＝2，x2＝－12(舍去)．∴正方形ADOF的边长为2.
【例2】（2019·河北省21/26）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
　　
勾股数组Ⅱ
35
/
　　

【答案】17；37．
【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．
故答案为：17；37．
知识点2： 锐角三角函数


知识点梳理

1.锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b

正弦：sinA＝＝
余弦：cosA＝＝
余切：tanA＝＝
2.几个重要公式：
设α是一个锐角，则sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)，sin2α＋cos2α＝1.
3.特殊角的三角函数值：
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



4.锐角三角函数值的变化规律：
①当0°＜α＜90°时，sinα(tanα)随着角度的增大(减小)而增大(减小)；
②当0°＜α＜90°时，cosα随着角度的增大(减小)而减小(增大)．
典型例题

【例3】（2019·天津）2sin60°的值等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C．
【解析】2sin60°＝2×＝.
【例4】（2019·通辽18/26）计算：
﹣14﹣|﹣1|+（﹣1.414）0+2sin60°﹣（）-1
【答案】3．
【解答】解：原式＝﹣1﹣（﹣1）+1+2×+2
＝﹣1﹣+1+1++2
＝3．
【例5】（2019·温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B．　
【解析】如下图，过点A作AD⊥BC于点D，由轴对称性质可知，BC＝3＋0.3×2＝3.6 m .∴BD＝1.8 m，∵cosα＝，∴AB＝＝＝ m.

知识点3： 解直角三角形


知识点梳理

1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2. 解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：
(1)三边关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边与角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；
(4)sin2A＋cos2A＝1
3.解直角三角形的应用常用知识：
（1）仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
（2）坡度和坡角
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，叫做坡度或坡比，一般用i表示．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα
坡度越大，α角越大，坡面 越陡
（3）方向角(或方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角

典型例题

【例6】（2019·乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝.则AB边的长为________．

【答案】．　
【解析】如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ADC中，AC＝2，cosC＝，∴CD＝AC·cosC＝2×＝，AD＝＝＝.在Rt△ADB中，∠B＝30°，AD＝，∴AB＝2AD＝2×＝.

【例7】（2019·广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A. 75 m B. 50 m C. 30 m D. 12 m

【答案】A．
【解析】tan∠BAC＝＝＝，解得AC＝75 m.
巩固训练

1．（2019·盐城）如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．

2. （2019·北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝________°（点A，B，P是网格线交点）．

3.（2019·重庆市12/26）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（　　）

A． B． C． D．
4. （2019·杭州）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝________．
5. （2019·石家庄质量检测）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡比为1∶2，物体沿传送带上升到点B时，距离地面的高度为3米，那么斜坡AB的长度为（ ）
A. 3米 B. 5米 C. 4米 D. 6米

6. （2019·河北黑白卷）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，某游客从码头A以40 km/h的速度沿笔直的沿湖道路l行驶1小时后到达码头B，与同伴会合后，两人结伴同行，以相同的速度沿北偏东30°方向行驶1小时后到达观光岛屿O，则观光岛屿O在码头A的（ ）
A. 北偏东30° B. 南偏西30° C. 北偏东60° D. 南偏西60°

7. （2019·益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动，如图，在桥上一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（ ）
A. asinα＋asinβ B. acosα＋acosβ C. atanα＋atanβ D. ＋

8. （2019·咸宁）如图所示，九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河的两岸平行），他们在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，CD＝80 m，则河宽AB约为________m(结果保留整数，≈1.73)．

9. （2019·徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°，若无人机的飞行高度AD为62 m，则该建筑的高度BC为________m．(参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31)

10. （2019·潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造，如图②所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶，将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4，求斜坡CD的长．（结果保留根号）

11.（2019•鄂尔多斯20/24）某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．
（1）求E，A两地之间的距离；
（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？
（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）

12.（2019·天津市22/25）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．
参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．

13.（2019·河南省19/23）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）

巩固训练参考答案

1．【答案】2．　
【解析】如下图，过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝x，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝x，AC＝x.∴AB＝AC＝2x.在Rt△ABD中，BD＝＝＝x，∴BC＝BD＋CD＝x＋x＝(＋1)x＝＋＝(＋1)，解得x＝，∴AC＝2.

2. 【答案】45．　
【解析】如下图，延长AP，则AP经过格点C，连接BC.设网格中小正方形的边长为1，则由勾股定理得PC＝BC＝＝，PB＝＝.∵PC2＋BC2＝()2＋()2＝10，PB2＝()2＝10，∴PC2＋BC2＝PB2.∴△PBC是等腰直角三角形．∴∠CPB＝45°.∵∠CPB是△ABP的外角，∴∠PAB＋∠PBA＝∠CPB＝45°.

3. 【答案】B．
【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，

∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝==，
∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
故选：B．
4. 【答案】或．　
【解析】分两种情况进行讨论，如下图①，当AC为Rt△ABC的斜边时，∵2AB＝AC，∴∠C＝30°，∴cosC＝；如下图②，当BC为Rt△ABC的斜边时，∵2AB＝AC，∴在Rt△ABC中，BC＝＝＝AB，∴cosC＝＝＝.综上所述，cosC的值为或.

5. 【答案】A．　
【解析】如下图，过点B作BD⊥AC于点D，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡比为1∶2，∴＝.∵BD＝3米，∴AD＝2BD＝6米，∴AB＝＝＝3米．

6. 【答案】 C．　
【解析】如下图，过点A作AC⊥l，过点B作BD⊥l，∵∠DBO＝30°，∴∠ABO＝120°. 根据题意可得，AB＝BO，∴∠BAO＝∠BOA＝(180°－∠ABO)＝30°.∴∠CAO＝90°－∠BAO＝60°.∴观光岛屿O在码头A的北偏东60°.

7. 【答案】 C．　
【解析】在Rt△ABD中，∵AB＝a，∠DAB＝β，tanβ＝，∴DB＝atanβ.在Rt△ABC中，∵AB＝a，∠BAC＝α，tanα＝，∴BC＝atanα.∴CD＝BD＋BC＝atan β＋atanα.
8. 【答案】 69．　
【解析】∵∠ADB＝60°，∠ACB＝30°，∴BD＝＝＝AB，BC＝＝＝AB.∵CD＝80 m，∴CD＝BC－BD＝AB－AB＝AB，即AB＝CD＝×80＝40≈69 m.
9. 【答案】262．　
【解析】如下图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，在Rt△ACE中，∵tan∠CAE＝，∴tan17°＝.∵CE＝AD＝62 m，∴AE≈＝200 m，在Rt△ABE中，∵∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200 m．∴BC＝CE＋BE＝62＋200＝262 m .

10. 【答案】 解：设CE＝x米，
则AE＝AC＋CE＝(20＋x)米，
∵斜坡AB的坡度为1∶，
∴BE＝(20＋x)米．
∵AB＝200米，
∴(20＋x)2＋[(20＋x)]2＝2002，
解得x＝80或x＝－120(舍去)，
即CE＝80米．
∵斜坡CD的坡度为1∶4，
∴DE＝4×80＝320米．
∴CD＝＝＝80米．
答：斜坡CD的长为80米．
11. 【解答】解：（1）如图，作CH⊥AD于H．

由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，
∵点C是AB的中点，CH∥BD，
∴AH＝HD＝（x+15）千米，
在Rt△ACH中，tan37°＝，
∴，
∴x＝45，
∴CH＝45（千米），AH＝60（千米），AD＝120（千米），
∴EA＝AD﹣DE＝120﹣15＝105（千米）．
（2）在Rt△ACH中，AC＝＝75（千米），
∴AB＝2AC＝150（千米），
∵150÷＝90千米/小时，
∵90＜100，
∴校车没有超速．
12. 【解答】解：在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，
则AD＝≈CD，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴CD＝CD+30，
解得，CD＝45，
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
13. 【解答】解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55 m，
∴tan∠CAE＝，
∴AC＝＝≈82.1m，
∵AB＝21m，
∴BC＝AC﹣AB＝61.1m，
在Rt△BCD中，tan60°＝＝，
∴CD＝BC≈1.73×61.1≈105.7m，
∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m，
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．