第64讲 求概率统计的综合问题（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第64讲 求概率统计的综合问题

思维导图


题型归纳
题型1 概率模块内知识交汇命题
【例1-1】高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3＋3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：
选考物理、化学、生物的科目数
1
2
3
人数
5
25
20

(1)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；
(2)从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“Y≥2”的概率．
【解】　(1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，
则P(A)＝＝，
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为
1－P(A)＝.
(2)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2.
由(1)知，P(X＝0)＝，又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，从而X的分布列为
X
0
1
2
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名，相应的频率为p＝＝，由题意知，Y～B，
所以事件“Y≥2”的概率为P(Y≥2)＝C22＋C3＋C4＝.
【跟踪训练1-1】2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18～36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：
微信群数量
频数
频率
0至5个
0
0
6至10个
30
0.3
11至15个
30
0.3
16至20个
a
c
20个以上
5
b
总计
100
1

(1)求a，b，c的值；
(2)若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；
(3)以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．
【解】(1)由已知得0＋30＋30＋a＋5＝100，解得a＝35，
b＝＝0.05，c＝＝0.35.
(2)记“这2 人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则P(A)＝＝，
所以这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为.
(3)依题意可知，微信群个数超过15个的概率为P＝.
X的所有可能取值为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝3＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【跟踪训练1-2】为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．
方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．
方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．
(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．
【解】设Ai(i＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i次；Bj(j＝2,3)表示方案乙所需化验的次数为j次，方案甲与方案乙相互独立．
(1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，P(A5)＝，
P(B2)＝＋＝，P(B3)＝1－P(B2)＝，
用事件D表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，
则P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝×＋×＝.
(2)η的可能取值为1,2,3,4,5.ξ的可能取值为2,3.
由(1)知P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝，P(η＝5)＝，
所以E(η)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，
P(ξ＝2)＝P(B2)＝，P(ξ＝3)＝P(B3)＝，
所以E(ξ)＝2×＋3×＝.
因为E(ξ)3.841，
所以有超过95%的把握认为“‘具有很强安全意识’与拥有驾驶证”有关．
(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为，
所以X＝0,1,2,3,4，且X～B.
P(X＝k)＝C·k·4－k(k＝0,1,2,3,4)，
X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P






所以E(X)＝4×＝.
【名师指导】
概率与统计、统计案例交汇问题的考查离不开图表(频率分布直方图、茎叶图、折线图、频数分布表等)，解决此类问题重在审图表、明数据，能从所给图表中正确提取解题所需要的信息是解决问题的关键，然后根据信息一步步实现图表数据与数学符号语言的转化，建立数学模型解决问题．

题型3 概率与函数、数列等综合问题
【例3-1】为响应绿色出行，某市在推出共享单车后，又推出新能源分时租赁汽车．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时按0.12元/分计费，超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(单位：分)是一个随机变量．现统计了张先生50次路上开车花费的时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示.
时间t/分
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
频数
2
18
20
10
　　将频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间．
(1)写出张先生一次租车费用y(单位：元)与用车时间t(单位：分)的函数关系式；
(2)若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；
(3)若公司每月给1 000元的交通补助，请估计张先生每月(按22天计算)的交通补助是否足够让张先生上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．(同一时段的时间用该区间的中点值代表)
【解】　(1)当20