精品解析：2020年山东德州市临邑县九年级数学中考二模试题（解析版+原卷板）

九年级数学中考模拟试题

一．选择题（48分）

1. ﹣相反数是（　　）

A. ﹣ B. ﹣ C.  D.

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

详解：-的相反数是．

故选C．

点睛：本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2. 地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用科学记数法表示为（　　）

A. 1.5×108 B. 1.5×107 C. 1.5×109 D. 1.5×106

【2题答案】

【答案】A

【解析】

【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

详解：150 000 000=1.5×108，

故选A．

点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3. 下列图形是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合,即可解题．

【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、中心对称图形，故本选项正确；

D、不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：C．

【点睛】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．

4. 如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（  ）
 

A. 14° B. 15° C. 16° D. 17°

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°．

【详解】如图，

∵∠ABC=60°，∠2=44°，

∴∠EBC=16°，

∵BE∥CD，

∴∠1=∠EBC=16°，

故选C．

【点睛】考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

5. 下列说法正确的是（   ）

A. 一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2

B. 了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查

C. 小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分

D. 某日最高气温是，最低气温是，则该日气温的极差是

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】分析：直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．

详解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；

B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；

C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是130分，故此选项错误；

D、某日最高气温是7℃，最低气温是-2℃，则改日气温的极差是7-（-2）=9℃，故此选项错误；

故选B．

点睛：此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把握相关定义是解题关键．

6. 已知点、都在反比例函数的图象上，则下列关系式一定正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【详解】分析：根据反比例函数的性质，可得答案．

详解：由题意，得

k=-3，图象位于第二象限，或第四象限，

在每一象限内，y随x的增大而增大，

∵3＜6，

∴x1＜x2＜0，

故选A．

点睛：本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键．

7. 函数y=中自变量x的取值范围是（     ）

A. x≥-1且x≠1 B. x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【详解】分析：根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．

详解：根据题意得到：，

解得x≥-1且x≠1，

故选A．

点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．

8. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．

【详解】已知：直线AB和AB外一点C．

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．

（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．

（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，

（4）作直线CF．

直线CF就是所求的垂线．

故选B．

【点睛】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．

9. 某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有个，小房间有个．下列方程正确的是(    )

A.  B.

C.  D.

【9题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】大房间有个，小房间有个，根据等量关系：大小共70个房间，共住480人，列方程组即可．

【详解】解：设大房间有个，小房间有个，

由题意得：，

故选：A．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解此类问题的关键．

10. 如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是(    )

A. 3 B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】【分析】设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，由AC、AB都与圆O相切，利用切线长定理得到AO平分∠BAC，且OC垂直于AC，OB垂直于AB，可得出∠CAO=∠BAO=60°，得到∠AOB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可确定出光盘的直径．

【详解】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，

∵AC、AB都与圆O相切，

∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，

∴∠CAO=∠BAO=60°，

∴∠AOB=30°，

在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，

∴OA=6cm，

根据勾股定理得：OB=3，

则光盘的直径为6，

故选D.

【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

11. 二次函数的图像如图所示，下列结论正确是(    )

A.  B.  C.  D. 有两个不相等的实数根

【11题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；由对称轴为x==1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x轴下方得到y=a-b+c＜0，结合b=-2a可得 3a+c＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.

【详解】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0，故A选项错误；

∵对称轴x==1，∴b=-2a，即2a+b=0，故B选项错误；

当x=-1时， y=a-b+c＜0，又∵b=-2a，∴ 3a+c＜0，故C选项正确；

∵抛物线的顶点为（1，3），

∴的解为x1=x2=1，即方程有两个相等的实数根，故D选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．

12. 如图，A、B是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是(    )

①；②；③若，则平分；④若，则

A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④

【12题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】①显然AO与BO不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可判断③正确；④设P（a，b），则B（a，），A（，b），根据S△BOP=4，可得ab=4，继而可判断④错误．

【详解】①显然AO与BO不一定相等，故△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；

②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，

∵AP//x轴，BP//y轴，

∴四边形OEPF是矩形，S△EOP=S△FOP，

∵S△BOE=S△AOF=k=6，

∴S△AOP=S△BOP，故②正确；

③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，

∵S△AOP=OA•PN，S△BOP=BO•PM，S△AOP=S△BOP，AO=BO，

∴PM=PN，

∴PO平分∠AOB，即OP为∠AOB的平分线，故③正确；

④设P（a，b），则B（a，），A（，b），

∵S△BOP=BP•EO==4，

∴ab=4，

∴S△ABP=AP•BP==8，

故④错误，

综上，正确的为②③，

故选B．

【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键．

二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）

13. 分解因式： ________________．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式分解即可．

【详解】原式

．

故答案为．

【点睛】本题考查分解因式．掌握提公因式法和利用平方差公式分解因式是解答本题的关键．

14. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.

【14题答案】

【答案】16

【解析】

【详解】分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．

详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，

∵3＜第三边的边长＜9，

∴第三边的边长为7．

∴这个三角形的周长是3+6+7=16．

故答案为16．

点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

15. 如图，内接于，为的直径，，弦平分，若，则________．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题.

【详解】解：连接BD．

∵AB是直径，

∴∠C=∠D=90°，

∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，

∴∠DAB=30°，

∴AB=AD÷cos30°=4，

∴AC=AB•cos60°=2，

故答案为2．

【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

16. 如图，四边形ACDF是正方形，和都是直角，且点三点共线，，则阴影部分的面积是__________．

【16题答案】

【答案】8

【解析】

【详解】【分析】证明△AEC≌△FBA，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面积公式进行求解即可.

【详解】∵四边形ACDF是正方形，

∴AC=FA，∠CAF=90°，

∴∠CAE+∠FAB=90°，

∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠ACE=∠FAB，

又∵∠AEC=∠FBA=90°，

∴△AEC≌△FBA，

∴CE=AB=4，

∴S阴影==8，

故答案为8.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB是解题的关键.

17. 在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________．

【17题答案】

【答案】

【解析】

【详解】【分析】由已知易得∠AFE=45°，过E作EG⊥AD，垂足为G，根据已知易得EG=FG=1，再根据勾股定理可得AE=，过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，根据勾股定理可求出a=，继而可得CH=，由AC=AE+EH+HC即可求得.

【详解】如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°，

过E作EG⊥AD，垂足为G，

在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=，∴EG=FG=1，

在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=，

过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，

设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2，

在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2，

即+2-a2=16，

∴a=，

∴CH=FH=，

∴AC=AE+EH+HC=，

故答案为.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键.

18. 如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为__．

【18题答案】

【答案】（2，0）．

【解析】

【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出、、的坐标，得出规律，进而求出点的坐标．

【详解】如图，作轴于点C，

设，则，

，．

点A2在双曲线上，

，

解得，（不符题意舍去），

，

点B2的坐标为；

作轴于点D，设B2D=b，则，

，．

点A3在双曲线上，

，

解得，（不符题意舍去），

，

点B3的坐标为；

同理可得点B4坐标为；

以此类推，

点Bn的坐标为，

点B6的坐标为．

故答案为．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质等知识. 正确求出、、的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．

三．解答题（78分）

19. 先化简，再求值：，其中.

【19题答案】

【答案】，.

【解析】

【详解】【分析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可.

【详解】，

，

，

当时，原式.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.

20. 央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注.我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：

图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”.

（1）被调查的总人数是_____________人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为_______.

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有__________人；

（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率.

【20题答案】

【答案】（1）50，216°；（2）补图见解析；（3）180；（4）

【解析】

【详解】分析：（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C部分人数所占比例可得；

（2）总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；

（3）用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得；

（4）用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．

详解：（1）被调查的总人数为5÷10%=50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×=216°，

（2）B类别人数为50-（5+30+5）=10人，

补全图形如下：

（3）估计该校学生中A类有1800×10%=180人;

（4）列表如下：

所有等可能的结果为20种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，

∴被抽到的两个学生性别相同的概率为．

点睛：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

21. 如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）

【21题答案】

【答案】地到地之间高铁线路的长约为．

【解析】

【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．

【详解】解：如解图，过点作于点，

∵地位于地北偏东方向，距离地，

∴，

∴，

．

∵地位于地南偏东方向，

∴，

∴，

∴．

答：地到地之间高铁线路的长约为．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形．

22. 如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点,且.

   （1）求证：为的切线；

   （2）若， ,求的长.

【22题答案】

【答案】(1)证明见解析；（2）

【解析】

【详解】【分析】（1）作OE⊥AB于点E，证明△OBC≌△OBE，根据全等三角形的对应边相等可得OE=OC， OE是⊙O的半径 ，OE⊥AB ，即可判定AB为⊙O的切线； 

（2）根据题意先求出AO、BO的长，再证明△AOD∽△BOC，根据相似三角形对应边成比例即可求出AD的长.

【详解】（1）作OE⊥AB于点E，

∵切BC于点C，

∴OC⊥BC，∠ACB=90°，

∵ AD⊥BD，∴∠D=90°，

∴∠ABD＋∠BAD =90°，∠CBD＋∠BOC=90°，

∵∠BOC=∠AOD，∠AOD=∠BAD，

∴∠BOC=∠BAD，

∴∠ABD=∠CBD

在△OBC和△OBE中，

∴△OBC≌△OBE，

∴OE=OC，∴OE是⊙O的半径 ，

∵OE⊥AB ，∴AB为⊙O的切线； 

（2） ∵tan∠ABC=，BC=6，

∴AC=8，∴AB= ，

∵BE=BC=6，∴AE=4，

∵∠AOE=∠ABC，∴tan∠AOE= ，∴EO=3，

∴AO=5，OC=3，∴BO=，

在△AOD和△BOC中，

∴△AOD∽△BOC，∴ ，

即 ，∴AD= .

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关的判定与性质定理是解题的关键.

23. 某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；

（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

【23题答案】

【答案】（1）y=x2，z=﹣x+30；（2）W=﹣x2+30x，年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）今年最多可获得1080万元的毛利润.

【解析】

【分析】（1）结合图象，利用待定系数法求出y与x以及z与x之间的函数关系式即可；（2）根据毛利润=销售额﹣生产费用可得w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）令y=0，解方程求得x的值，根据图象结合y的取值范围，求得x的取值范围，再由二次函数的性质即可解答.

【详解】（1）图①可得函数经过点（100，1000），

设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0），

将点（100，1000）代入得：1000=10000a，

解得：a=，

故y与x之间的关系式为y=x2．

图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），

设z=kx+b，则

解得：

故z与x之间的关系式为z=﹣x+30；

（2）W=zx﹣y=﹣x2+30x﹣x2

=﹣x2+30x

=﹣（x2﹣150x）

=﹣（x﹣75）2+1125，

∵﹣＜0，

∴当x=75时，W有最大值1125，

∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；

（3）令y=360，得x2=360，

解得：x=±60（负值舍去），

由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，

由W=﹣（x﹣75）2+1125的性质可知，

当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，

故当x=60时，W有最大值1080，

答：今年最多可获得毛利润1080万元．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意构造二次函数模型，利用二次函数的性质解决问题是解此类题目的基本思路.

24. 如果三角形两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　   　°；

（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．

【24题答案】

【答案】（1）15°；（2）BE=．（3）AC=20．

【解析】

【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；

（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；

（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；

【详解】（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，

∴2∠B+∠A=90°，

解得，∠B=15°；

（2）如图①中，

在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，

∴∠B+2∠BAD=90°，

∴△ABD是“准互余三角形”，

∵△ABE也是“准互余三角形”，

∴只有2∠B+∠BAE=90°，

∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，

∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，

∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，

∴CE=，

∴BE=5﹣=．

（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．

∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，

∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，

∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，

∴A、B、F共线，

∴∠FAC+∠ACF=90°

∴2∠ACB+∠CAB≠90°，

∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，

∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，

∴△FCB∽△FAC，

∴CF2=FB•FA，设FB=x，

则有：x（x+7）=122，

∴x=9或﹣16（舍去），

∴AF=7+9=16，

在Rt△ACF中，AC=．

【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．

25. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；

（3）是否存在点P，使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【25题答案】

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)线段MN最大值为；(3)存在点P，使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时m的值为或．

【解析】

【分析】（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）由二次函数图象上点的坐标特征可找出点B的坐标，根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，0）（0≤m≤3），点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，﹣m+3），由此即可得出MN＝﹣m2+3m，利用配方法即可求出线段MN的最大值；

（3）根据平行四边形的性质可得出MN＝OC，分m＜0或m＞3以及0≤m≤3两种情况，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

【详解】(1)将A(﹣1，0)、C(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c中，

，解得：,

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

(2)当y＝﹣x2+2x+3＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，

∴点B的坐标为(3，0)．

设直线BC的解析式为y＝kx+b(k≠0)，

将B(3，0)、C(0，3)代入y＝kx+b中，

,，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．

设点P的坐标为(m，0)(0≤m≤3)，点M的坐标为(m，﹣m2+2m+3)，

点N的坐标为(m，﹣m+3)，

∴MN＝﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3m＝﹣(m﹣)2+，

∴当m＝，线段MN取最大值，最大值为．

(3)∵MN∥CO，

∴当MN＝CO时，以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

∵点O(0，0)、C(0，3)，

∴OC＝3，

∴|﹣m2+3m|＝3，

当m＜0或m＞3时，有m2﹣3m＝3，

解得：m1＝，m2＝；

当0≤m≤3时，有﹣m2+3m＝3，

∵△＝(﹣3)2﹣4×1×3＝﹣3＜0，

∴此时方程无解．

综上所述：存在点P，使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时m的值为或．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用配方法求出线段MN的最大值；（3）分m＜0或m＞3以及0≤m≤3两种情况，找出关于m的一元二次方程．