精品解析：2020年山东省德州市平原县九年级数学中考二模试题（解析版+原卷板）

九年级数学中考模拟试题

一、选择题

1. 在中，负数的个数是（        ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】先将各数化简，然后根据负数的定义判断．

【详解】解：

∴负数的是：

∴负数的个数有3个．

故选：C

【点睛】本题考查了正数与负数，解题的关键是：先将各数化简，然后根据负数的定义判断．

2. 下列分解因式正确的是（　　）

A. x2-x+2=x（x-1）+2 B. x2-x=x（x-1） C. x-1=x（1-） D. （x-1）2=x2-2x+1

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；

B、x2-x=x（x-1），故选项正确；

C、x-1=x（1-），不是分解因式，故选项错误；

D、（x-1）2=x2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．

故选：B．

【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．

3. 在函数中，自变量的取值范围是（    ）

A.  B. 且 C.  D.

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义即可得．

【详解】由二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义得

解得

即自变量x的取值范围是且

故选：B．

【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、零指数幂的定义，掌握各性质和定义是解题关键．

4. 下列各二次根式中，可以与合并的是（        ）

A  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．

【详解】A. ∵=2，∴与不能合并；

B. ∵=，∴与能合并；

C. ∵=，∴与不能合并；

D. ∵=，∴与不能合并；

故选B．

【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．

5. 点P（﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由第二象限纵坐标大于零得出关于m的不等式，解之可得．

【详解】解：由题意知m+1＞0，

解得m＞﹣1，

故选C．

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

6. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）其中正确的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【6题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】解：①由图象可知：抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，所以ab＜0．

抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故①错误；

②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②错误；

③由图可知，x＜0时，y随x的增大而增大，故③正确；

④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣ ＝1，

即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④正确；

⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，

而当x＝m时，y＝am2+bm+c，

所以a+b+c＞am2+bm+c，

故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．

综上所述，③④⑤正确．

故选C．

【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于根据函数图象进行判断

7. 如图，在矩形ABCD中，AD＝+8，点E在边AD上，连BE，BD平分∠EBC，则线段AE的长是（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次根式的性质得到AB，AD的长，再根据BD平分∠EBC与矩形的性质得到∠EBD＝∠ADB，故BE＝DE，再利用勾股定理进行求解.

【详解】解：∵AD＝+8，

∴AB＝4，AD＝8

∵BD平分∠EBC

∴∠EBD＝∠DBC

∵AD∥BC

∴∠ADB＝∠DBC

∴∠EBD＝∠ADB

∴BE＝DE

在Rt△ABE中，BE2＝AE2+AB2，

∴（8﹣AE）2＝AE2+16

∴AE＝3

故选B．

【点睛】此题主要考查矩形的线段求解，解题的关键是熟知勾股定理的应用.

8. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　）

A. 1.25尺 B. 56.5尺 C. 6.25尺 D. 57.5尺

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】易得△ABF∽△ADE，列出比例式即可求解.

【详解】依题意有△ABF∽△ADE，

∴AB:AD=BF:DE，

即5:AD=0.4:5，

解得AD=62.5，

BD=AD−AB=62.5−5=57.5尺．

故选D.

【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式是解题的关键.

9. 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示： 

今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（   ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【9题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定．

【详解】因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大，

而乙组的方差比甲组的小，

所以乙组的产量比较稳定，

所以乙组的产量既高又稳定，

故选B．

【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．

10. 人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由科学记数法可知；

【详解】解：；

故选B．

【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中a与n的意义是解题的关键．

11.  如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是(　　)

A. 4 B. 2 C.  D.

【11题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可．

【详解】∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，

∴∠BCD=180°-60°=120°，

∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠CAD=∠CAB=30°，

如图1，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，

则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，

∴∠ABC+∠EBC=(180°-∠CAB+∠ACB)+(180°-∠E-∠BCE)=180°，

∴A、B、E三点共线，

过C作CM⊥AE于M，

∵AC=CE，

∴AM=EM=×(5+3)=4，

在Rt△AMC中，AC===；

故选：D．

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．

12. 如图所示，菱形ABCD的边长是2厘米，∠BAD＝120°，动点M以1厘米/秒的速度自A点出发向B移动，动点N以2厘米/移的速度自B点出发向D移动，两点中任一个到达线段端点移动便告结束．若点M、N同时出发运动了t秒，记△BMN的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【12题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】连接AC与BD交于点O，作MH⊥BD，垂足为H，根据菱形的性质以及题目给出的条件可得BO＝cm，进而得出BD＝cm，根据题意可知AM＝tcm，BN＝2tcm，根据题意得出t的取值范围，再根据三角形的面积公式得出S与t之间的函数关系式即可得出正确选项．

【详解】解：如图，连接AC与BD交于点O，作MH⊥BD，垂足为H，

∵ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴∠BAC＝60°，∠ABO＝30°，

∴BO＝AB•cos30°＝＝（cm），

∴BD＝（cm），

根据s＝vt可知，AM＝t（cm），BN＝2t（cm），

∵0≤AM≤2，得0≤t≤2，，

∴，

∵在△BMH中，BN＝2t，MH＝BM•sin30°＝，

∴＝＝（），

此函数的图象为开口方向向下的抛物线的一部分，且图象两个端点的横坐标分别为0，．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．

二、填空题

13. 定义一种运算法则“”如下：，例如：，若，则的取值范围是____________.

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据新定义列出不等式即可求解.

【详解】依题意得-3x+5≤11

解得

故答案为：.

【点睛】此题主要考查列不等式，解题的关键是根据题意列出不等式进行求解.

14. 关于t的分式方程=1的解为负数，则m的取值范围是______．

【14题答案】

【答案】m＜3

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解，由分式方程的解是负数确定出m的范围即可．

【详解】去分母得：m-5=t-2，

解得：t=m-3，

由分式方程的解为负数，得到m-3＜0，且m-3≠2，

解得：m＜3，

故答案为：m＜3．

【点睛】此题考查了解分式方程以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15. 如果、是一元二次方程的两个根，则_____．

【15题答案】

【答案】2023

【解析】

【分析】先根据一元二次方程的根定义、根与系数的关系可得出的等式，再代入求解即可．

【详解】由题意得：

两个式子相减得：，即

则

故答案为：2023．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根定义、根与系数的关系，熟记一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．

16. 如图， 圆直径垂直于弦，垂足是，，，的长为__________．

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据圆周角定理得，由于的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．

【详解】解：∵

∴

∵的直径垂直于弦

∴

∴为等腰直角三角形

∴

∴．

故答案是：

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．

17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，BE＝________．

【17题答案】

【答案】3或6

【解析】

【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可BE的长．

【详解】如图，若∠AEF＝90°，

∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF

∴四边形BCFE是矩形

∵将△BEC沿着CE翻折

∴CB＝CF

∴四边形BCFE是正方形

∴BE＝BC＝AD＝6，

如图，若∠AFE＝90°，

∵将△BEC沿着CE翻折

∴CB＝CF＝6，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF

∵∠AFE＋∠EFC＝180°

∴点A，点F，点C三点共线

∴AC＝＝10，

∴AF＝AC−CF＝4

∵AE2＝AF2＋EF2，

∴（8−BE）2＝16＋BE2，

∴BE＝3，

（3）若∠EAF＝90°，

∵CD＝8＞CF＝6

∴点F不可能落在直线AD上，

∴不存在∠EAF＝90°，

综上所述：BE＝3或6．

故答案为：3或6．

【点睛】本题主要考查的是翻折的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．

18. 在直角坐标系中，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3…按照这样的作法进行下去，则点A20的坐标是______．

【18题答案】

【答案】（219，0）

【解析】

【分析】根据题意，由(1，0)和直线关系式y=x，可以求出点B1的坐标，在Rt△OA1B1中，根据勾股定理，可以求出OB1的长；再根据OB1=OA2确定A2点坐标，同理可求出A3、A4、A5……，然后再找规律，得出An的坐标，从而求得点A20的坐标．

【详解】

当时，，即A1B1=，

在Rt△OA1B1中，由勾股定理得OB1=2，

∵OB1=OA2，

∴A2 (2，0)

同理可求：A3(4，0)、A4(8，0)、A5(16，0)……

由点：A1(1，0)、A2(2，0)、A3(4，0)、A4(8，0)、A5(16，0)……

即：A1(20，0)、A2(21，0)、A3(22，0)、A4(23，0)、A5(24，0)……可得An(2n-1，0)

∴点A20的坐标是(219，0)，

故答案为：(219，0)．

【点睛】考查一次函数图象上的点坐标特征，勾股定理，以及点的坐标的规律性．在找规律时，A点的横坐标的指数与A所处的位数容易搞错，应注意．

三、解答题

19. 先化简，再从0、2、4、﹣1中选一个你喜欢的数作为x的值代入求值．

【19题答案】

【答案】原式=x，当x＝﹣1时，原式＝﹣1

【解析】

【分析】先对分子分母分别进行因式分解，能约分的先约分，再算括号，化除法为乘法，再进行约分；再从0、2、4、﹣1中选使得公分母不为0的数值代入最简分式中即可.

【详解】解：原式

∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，x≠0

∴x≠2且x≠4且x≠0

∴当x＝﹣1时，

原式＝﹣1.

【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20. 为争创文明城市，我市交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，并将两次收集的数据制成如下统计图表．

根据以上提供的信息解决下列问题：

（1）a=      ，b=        c=         

（2）若我市约有30万人使用电瓶车，请分别计算活动前和活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数．

（3）经过某十字路口，汽车无法继续直行只可左转或右转，电动车不受限制，现有一辆汽车和一辆电动车同时到达该路口，用画树状图或列表的方法求汽车和电动车都向左转的概率．

【20题答案】

【答案】（1）10，24.5，1000；（2）活动前5.31万人，活动后2.67万人；（3）p=

【解析】

【分析】（1）用表格中的A组的人数除以其百分比，得到总人数c，运用“百分比=人数÷总人数”及其变形公式即可求出a、b的值；

（2）先把活动后各组人数相加，求出活动后调查的样本容量，再运用“百分比=人数÷总人数”求出活动前和活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，再用样本估计总体；

（3）先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再求汽车和电动车都向左转的概率．

【详解】（1）∵,

∴,,

∴；

（2）∵活动后调查了896+702+224+178=2000人，“都不戴”安全帽的占，

∴由此估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万=2.67（万人）；

同理：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万万人；

答：估计活动前和活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数分别为5.31万人和2.67万人；

（3）画树状图：

∴共有6种等可能的结果数，汽车和电动车都向左转的只有1种，

∴汽车和电动车都向左转的概率为．

【点睛】本题综合考查了概率统计内容，读懂统计图，了解用样本估计总体，掌握概率公式是解决问题的关键．

21. 某灯饰商店销售一种进价为每件20元的护眼灯.销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似地看作一次函数.物价部门规定该品牌的护眼灯售价不能超过36元.

（1）如果该商店想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（2）设该商店每月获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少元？

【21题答案】

【答案】（1）30元；（2）当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元．

【解析】

【分析】(1)由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=(定价－进价)×销售量，从而列出一元二次方程，解出方程即可.

        (2)根据题意可以写出w关于x的函数关系式，从而可以求出函数的最大值，本题即可得到解决.

【详解】解:（1）由题意可得:

解得，，

∵，      ∴（舍去）

则．

答:如果该商店想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为30元．

（2），

∵，   ∴有最大值，

当（元），

（元）

答:当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元．

【点睛】本题的考点是一元二次方程的应用及二次函数的应用，方法是根据题意列出函数关系式，根据问题的需要求出答案即可.

22. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB．

（1）求证：P为线段AB的中点；

（2）求△AOB的面积．

【22题答案】

【答案】（1）证明见解析；（2）S△AOB=24．

【解析】

【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理的推论得出AB是⊙P的直径即可；

（2）首先假设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），得出OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，进而利用三角形面积公式求出即可．

试题解析：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，

∴AB是⊙P的直径．

（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，

设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），

∵点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，

∴mn=12．

则OM=m，ON=n．

由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，

∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，

∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．

考点: 反比例函数综合题．

23. 如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡比为i＝1∶2，顶部A处高AC为4 m，B，C在同一水平面上．

(1)求斜坡AB的水平宽度BC；

(2)矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE＝2.5 m，EF＝2 m．将货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5 m时，求点D离地面的高．(≈2.236，结果精确到0.1 m)

【23题答案】

【答案】(1) BC＝8 m；(2)点D离地面的高为4.5 m.

【解析】

分析】（1）根据坡度定义直接解答即可；

（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．

【详解】（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，

∴BC=4×2=8m.

（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H.

∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，

∴∠GDH=∠SBH，

∵DG=EF=2m，

∴GH=1m，

∴DH=m，BH=BF+FH=3.5+（2.5-1）=5m，

设HS=xm，则BS=2xm，

∴x2+（2x）2=52，

∴x=m，

∴DS=+=2m≈4.5m．

24. 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是______；

（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

【24题答案】

【答案】（1）CH=AB．；（2）成立，证明见解析；（3）

【解析】

【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．

（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．

（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK=DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK=CH=AB；最后根据CK=AC+AK=AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．

【详解】解：（1）如图1，连接BE，

，

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，

∵点E是DC的中点，DE=EC，

∴点F是AD的中点，

∴AF=FD，

∴EC=AF，

在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠1=∠2，

∵EH⊥BF，∠BCE=90°，

∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，

∴∠4=∠HBC，

∴CH=BC，

又∵AB=BC，

∴CH=AB．

（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．

如图2，连接BE，

，

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，

∵AD=CD，DE=DF，

∴AF=CE，

在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠1=∠2，

∵EH⊥BF，∠BCE=90°，

∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，

∴∠4=∠HBC，

∴CH=BC，

又∵AB=BC，

∴CH=AB．

（3）如图3，

，

∵CK≤AC+AK，

∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，

∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，

∴∠KDF=∠HDE，

∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，

∴∠DFK=∠DEH，

在△DFK和△DEH中，

∴△DFK≌△DEH，

∴DK=DH，

在△DAK和△DCH中，

∴△DAK≌△DCH，

∴AK=CH

又∵CH=AB，

∴AK=CH=AB，

∵AB=3，

∴AK=3，AC=3，

∴CK=AC+AK=AC+AB=，

即线段CK长的最大值是．

考点：四边形综合题．

25. 抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），顶点为点P，且最小值为-2．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点O作PA的平行线交抛物线对称轴于点M，交抛物线于另一点N，求ON的长；

（3）抛物线上是否存在一个点E，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，使得△EFO∽△AMN，若存在，试求出点E的坐标；若不存在请说明理由．

【25题答案】

【答案】（1）抛物线的表达式为，（或）；（2）；（3）抛物线上存在点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有2个，分别是（，）和（，）．

【解析】

【分析】（1）由点O（0，0）与点A（4，0）的纵坐标相等，可知点O、A是抛物线上的一对对称点，所以对称轴为直线x=2，又因为最小值是-2，所以顶点为（2，-2），利用顶点式即可用待定系数法求解；

（2）设抛物线对称轴交轴于点D、N（,），先求出=45°，由ON∥PA，依据平行线的性质得到=45°，依据等腰直角三角形两直角边的关系可得到=，解出即可得到点N的坐标，再运用勾股定理求出ON的长度；

（3）先运用勾股定理求出AM和OM，再用ON-OM得MN，运用相似三角形的性质得到EF：FO的值，设E（，），分点E在第一象限、第二或四象限讨论，依据EF：FO=1

:2列出关于m的方程解出即可.

【详解】解：（1）∵抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），

∴对称轴为直线x=2，

又∵顶点为点P，且最小值为-2,，

∴顶点P（2，-2）,

∴设抛物线的表达式为

将O（0，0）坐标代入，解得

∴抛物线的表达式为，即；

（2）设抛物线对称轴交轴于点D，

∵顶点P坐标为（2，-2），

∴点D坐标为（2，0）

又∵A（4，0），

∴△ADP是以为直角的等腰直角三角形，=45°

又∵ON∥PA  ，

∴=45°

∴若设点N的坐标为（,）则=

解得，

∴点N的坐标为（，）

∴

（3）抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，理由如下：

连接PO、AM，

∵=45°，=90°,

∴，

又∵由点D坐标为（2，0），得OD=2，

∴，

又∵=90°,由A（4，0），D（2，0）得AD=2，

∴,

同理可得,

∴,

∴AM：MN=： =1：2

∵△EFO∽△AMN

∴EF：FO=AM：MN=1：2                    

设点E的坐标为（，）（其中），

①当点E在第一象限时，，

解得，此时点E的坐标为（，），

②当点E在第二象限或第四象限时，，

解得，此时点E的坐标为（，）

综上所述，抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有2个，分别是（，）和（，）．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求解析式，运用勾股定理求线段长度，二次函数中相似的存在性问题，解题的关键是用点的坐标求出线段长度，并根据线段之间的关系，建立方程解出得到点的坐标.