八年级下册第五章 特殊平行四边形综合与测试精品随堂练习题

浙教版初中数学八年级下册第五单元《特殊平行四边形》测试卷

考试范围：第五章；考试时间：100分钟；总分：100分；

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列说法正确的是

A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D. 四个角都是直角的四边形是矩形

2. 为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具如图用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架，并在与、与之间分别用一根橡皮筋拉直固定课上，李老师右手拿住木条，用左手向右推动框架至如图观察所得到的四边形，下列判断正确的是

A.  B.
C. 的长度变小 D.

3. 如图，在矩形中，，，则   

A.  B.  C.  D.

4. 如图是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它裁剪成一个菱形甲、乙两位同学的作法如下：

甲：连结，作的中垂线，交，于点，，则四边形是菱形．

乙：作与的平分线，，分别交于点，交于点，则四边形是菱形．

对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是

A. 甲正确，乙错误． B. 甲错误，乙正确．
C. 甲、乙均正确． D. 甲、乙均错误．

5. 如图，菱形中，对角线，相交于点，是边的中点，菱形的周长为，则的长等于   

A.
B.
C.
D.

6. 已知下列条件：；；；其中能使为菱形的是     

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是平行四边形的对角线，当它满足以下：；；；中某一条件时，平行四边形是菱形，这个条件是

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

8. 如图是由个全等的边长为的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是的大正方形，则

A. 甲、乙都可以 B. 甲可以，乙不可以
C. 甲不可以，乙可以 D. 甲、乙都不可以

9. 如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点恰好落在点处，比大设和的度数分别为和，那么所适合的一个方程组是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点，则等于

A.  B.  C.  D.

11. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是

A.
B.
C.
D.
 

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 在矩形中，对角线与交于点若，则的度数是          ，          ．
14. 如图，四边形为矩形，过点作对角线的垂线，交的延长线于点，取的中点，连接，设，，则的值为______．
15. 四边形中，已知，，添加一个条件          ，即可判定该四边形是菱形．
16. 以边长为的正方形的中心为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值为______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）

17. 已知：如图，和都是等腰直角三角形，求证：四边形是正方形．
    
     

18. 已知：如图，在四边形中，对角线相交于点，，求证：四边形是正方形．

19. 如图，矩形的两条对角线相交于点图中有多少对全等三角形？把它们写出来．
     

20. 如图，在矩形中，点，在边上，且，求证：．

21. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，求证：．
    
     

22. 如图，四边形是矩形，、分别是线段、上的点，点是与的交点若将沿直线折叠，则点与点重合．
    
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，，点，，分别为，，的中点，连接，．

求证：四边形是菱形；

若，，求菱形的面积．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定方法根据矩形的判定方法逐一进行判断即可得出结论．
【解答】
解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A不符合题意；
B.两条对角线相等的平行四边形是矩形，故B不符合题意；
C.两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，可能是菱形，故C不符合题意；
D.四个角都是直角的四边形是矩形，故D符合题意，
故选D．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据矩形的性质即可判断．
【解答】
解： 四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
．
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质和勾股定理，能求出和是解此题的关键，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分．根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出即可．

【解答】
解：四边形是矩形，，
，，
在中，由勾股定理得：，
故选：．

4.【答案】
 

【解析】略
 

5.【答案】
 

【解析】解：菱形的周长为，
，
为边中点，为的中点
．
故选：．
先根据菱形的周长为，求出边长，然后根据为边中点，为的中点，可得，即可求解．
本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，解答本题的关键掌握菱形四条边都相等，对角线互相垂直且平分的性质．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，需熟练掌握菱形的两个基本判定．四边形是平行四边形，要是其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．

【解答】
解：四边形是平行四边形，
若，则可得其为菱形，故选项正确，
中，得到一矩形，不是菱形，所以错误，
中一组邻边相等，也可得到一菱形，所以成立，
中并不能得到其为矩形，菱形或正方形等，所以不成立，
故A选项中都正确，中不成立，中错误，而中多一个选项也不对，
则能使▱是菱形的有或．
故选A．

7.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；故能判定．
故选：．
由四边形是平行四边形，易得，又由，可得，即可证得，继而判定平行四边形是菱形．
此题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意一组邻边相等的平行四边形是菱形．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图所示：
可得甲、乙都可以拼一个面积是的大正方形．
故选：．
直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，以及翻折变换的问题，关键知道正方形的四个角都是直角设和的度数分别为，，根据将正方形的一角折叠，折痕为，比大可列出方程组．
【解答】
解：设和的度数分别为和，
根据题意可得：．
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，根据正方形的性质及等腰三角形的性质求出，，再求．
【解答】解：  四边形是正方形，

，，．

是等边三角形，

，，

，，

，

故选B．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
【解答】
解：由题意可得，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
图中阴影部分的面积为：，
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】
解：，，
四边形是平行四边形，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，
由知，
，
，
四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
故选：．  

13.【答案】，
 

【解析】略
 

14.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，，，
，，．
又，点是的中点，，
．
．
在直角中，，即，
．
故答案是：．
根据矩形的性质得到，，然后利用直角的斜边上的中线等于斜边的一半得到，则在直角中，利用勾股定理求得的值．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质，根据“直角的斜边上的中线等于斜边的一半”求得的长是解题的关键．
 

15.【答案】答案不唯一
 

【解析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定．
根据平行四边形的判定证出四边形是平行四边形，根据菱形的判定证出即可．
解：添加的条件是答案不唯一理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
若，
则平行四边形是菱形．
 

16.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
在和中，，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
要使最小，只要取最小值即可，
根据垂线段最短，时，最小，
正方形，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据正方形的对角线平分一组对角线可得，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得，，然后根据同角的余角相等求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得时，最小，然后求出，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出是等腰直角三角形是解题的关键．
 

17.【答案】证明：和都是等腰直角三角形，．
，，
，
，
四边形是正方形．
 

【解析】由正方形的判定方法可得结论．
此题考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
 

18.【答案】由，证得四边形是矩形再由，，

得，从而得证

【解析】略
 

19.【答案】解：四边形是矩形，
，，，，
≌，≌，≌，≌，
共有对全等三角形．
 

【解析】由矩形的性质可得，，，，由“”可证≌，≌，≌，≌，即可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，灵活运用矩形的性质是本题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形为矩形，
，．
，
．
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理证出≌是解题的关键．
由矩形的性质可得出、，由可得出，进而即可证出≌，根据全等三角形的性质可证出．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
≌，
．
 

【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
 

22.【答案】解：证明：将沿直线折叠，则点与点重合．
，，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
平行四边形为菱形．
如图，，
，
，
，
：，
，
菱形的面积，
．
 

【解析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
根据轴对称的性质以及平行线的性质推出，进而推出四边形为平行四边形，再根据邻边相等，即可证明结论．
由，，可得出菱形的面积，进而可得出的值．
 

23.【答案】证明：点，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形；
过作于，
，，
，
，
，
菱形的面积．
 

【解析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
过作于，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．