浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形综合与测试精品习题

浙教版初中数学八年级下册第五单元《特殊平行四边形》测试卷

考试范围：第五章；考试时间：100分钟；总分：100分；

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列说法正确的是

A. 有一个角是直角的四边形是矩形．
B. 两条对角线相等的四边形是矩形．
C. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形．
D. 四个角都是直角的四边形是矩形．

2. 如图，在锐角中，延长到点，点是边上的一个动点，过点作直线，分别交、的平分线于，两点，连接、，在下列结论中：
   ；
   ；
   若，，则的长为；
   当时，四边形是矩形．
   其中正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在长方形纸片中，，点是的中点，点是边上的一个动点．将沿所在直线翻折，得到则长的最小值是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，▱的对角线，相交于点，添加下列条件后，不能得出四边形是矩形的是

A.  B.
C.  D.

5. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图所示正方形，则图中对角线的长为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点于点若菱形的周长为，面积为，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动到点为止，点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，正方形的对角线，相交于，平分交于，于，交于，则下列结论：；；≌；平分其中正确的结论有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 关于▱的叙述，正确的是

A. 若，则▱是菱形
B. 若，则▱是矩形
C. 若，则▱是正方形
D. 若，则▱是菱形

10. 如图，两个边长相等的正方形和，若将正方形绕点按逆时针方向旋转，则两个正方形的重叠部分四边形的面积

A. 不变
B. 先增大再减小
C. 先减小再增大
D. 不断增大

11. 如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，若，则的度数为   

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在正方形外侧作等边三角形，，相交于点，则    

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为______．
    
     

14. 如图，矩形的对角线与相交点，，，分别为，的中点，则的长度为          ．

15. 如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则 ______ 度

16. 如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连结并延长，交的延长线于点，连结，则的长为          ．
     

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）

17. 已知：如图，在矩形中，是上一点，且，于点求证：．
     

18. 判断如图方格内四边形是不是矩形，请说明理由．
    以为一边作一个矩形，要求另外两个顶点也在方格顶点上．
    
    
     

19. 如图，在▱中，为的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，，若，求证：四边形是矩形．

20. 如图，在▱中，，是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结．
     

求证：四边形是菱形．

若，，求的面积．






 

21. 如图，，分别以，为圆心，以为半径作弧，两条弧分别相交于点，依次连结，，，，连结交于点．
    
    
    判断四边形的形状，并说明理由．

求的长．






 

22. 如图，把纸片进行如下操作：
    折叠三角形纸片，使点与点重合．
    铺平纸片，画出折痕，交边于点．
    连，过点作交折痕于点，连．
    若，求的度数．
    由以上操作可知，四边形是菱形，请说明理由．

23. 如图，在正方形中，点在对角线上不与点，重合，于点，于点，连接．

写出线段，，长度之间的等量关系，并说明理由

若正方形的边长为，，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】略
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
，
，，
，，
，故正确，
，
，
若，则，显然不可能，故错误，
，，，
，
，故错误，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
故选：．
只要证明，即可．
首先证明，若，则，显然不可能，故错误，
利用勾股定理可得，推出，故错误．
根据矩形的判定方法即可证明．
本题考查矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

3.【答案】
 

【解析】解：以点为圆心，长度为半径作圆，连接，当点在线段上时，的长取最小值，如图所示
根据折叠可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
故选：．
以点为圆心，长度为半径作圆，连接，当点在线段上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出的长度，用即可求出结论．
本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出取最小值时点的位置是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故能得出四边形是矩形；
B、，
，
平行四边形是矩形，故能得出四边形是矩形；
C、，
平行四边形是矩形，故能得出四边形是矩形；
D、，
平行四边形是菱形，故不能得出四边形是矩形；
故选：．
利用矩形的判定进行推理，即可求解．
本题考查了矩形的判定，灵活运用矩形的判定是本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：如图，图中，连接．

图中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图中，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
；
故选：．
如图，图中，连接在图中，证是等边三角形，得出在图中，由勾股定理求出即可．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，如图，根据菱形的性质得，，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即可得到的值．
【解答】
解：连接，如图，

四边形为菱形，菱形的周长为，
，，
，
，
．  

7.【答案】
 

【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
又是等边三角形，
，
又，
，
在和中，，
≌，
，
，，
，

，
故选：．
连接，证出≌，得到，再利用，，则求出时间的值．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出．
 

8.【答案】
 

【解析】证明：正方形的对角线、相交于点，
，，
．
于点，
．
，，
．
在和中，，
≌，
，故正确；
，平分交于，
，
，
，
，
平分，故正确；
，
，故正确；
，
≌，
，
，
≌，故正确．
故选：．
根据正方形的性质，可得，，根据直角三角形的性质，可得，，再根据与角的关系，可得，根据全等三角形的判定与性质，故正确；根据角平分线的定义得到，得到，求得平分，故正确；根据等腰三角形的性质得到，故正确；根据全等三角形的判定两点得到≌，故正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：▱中，，
四边形是矩形，选项A不符合题意；
▱中，，
四边形是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；
▱中，，
四边形是矩形，不一定是正方形，选项C不符合题意；
▱中，，
四边形是菱形，选项D符合题意；
故选：．
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、、D错误，C正确；即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：四边形、四边形是两个边长相等的正方形，
，，，
，
即，
在和中
，
，
两个正方形的重叠部分四边形的面积是，
即不管怎样移动，阴影部分的面积都等于，
故选：．
根据正方形性质得出，，，求出，证≌，推出两个正方形的重叠部分四边形的面积等于，即可得出选项．
本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是求出的度数，主要培养学生运用性质进行推理的能力，全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的两锐角的度数是根据正方形性质得出，，根据证≌，求出，根据等腰直角三角形性质求出，即可求出答案．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
在和中，

≌，
，
，，
，
．
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，角的计算，在解题的过程中要熟练运用三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质根据正方形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，，进而得到，利用等腰三角形等边对等角可得；再根据三角形内角和定理求出的度数；最后利用三角形的外角性质即可求出的度数．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
又，
．
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
设，则，根据菱形的性质得，，，再证明，所以，解得，然后利用勾股定理计算，再计算的长．
【解答】
解：，
设，则，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，解得，
即，，
在中，，
在中，．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．根据矩形的性质可得，，再根据三角形中位线定理可得的长．
【解答】
解：四边形是矩形，
，
，
点，是，的中点，
是的中位线，
  

15.【答案】
 

【解析】解：连接，如图：

四边形是矩形，
．
是的中点，
，
，．
，关对称，
，
．
，，，
．
．
，
．
，
．
设，则，
．
，
．
．
故答案为：．
连接，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得和为等腰三角形，，；由折叠可知，可得；由，，，可得，进而得到；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得；最后在中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识根据矩形的性质可得，再根据可得，所以得，在中，根据勾股定理即可得的长．
【解答】
解：矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
．
故答案为．  

17.【答案】证明：如图，连接，

四边形是矩形，
，
，
，
．
又，
≌．
．
又，，
≌．
．
 

【解析】连接，利用矩形的性质，则可证得≌，进一步可证得≌，则可证得结论．
本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证得三角形全等是解题的关键．
 

18.【答案】解：四边形是矩形；理由如下：
由勾股定理得：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
是直角三角形，，
四边形是矩形；
如图所示，
四边形即为所求．
 

【解析】由勾股定理求出，，得出四边形是平行四边形，由勾股定理的逆定理证出，即可得出结论；
由中的矩形容易画出以为一边的矩形．
本题考查了矩形的判定与性质、作图、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算与作图是解题的关键．
 

19.【答案】证明四边形是平行四边形，

，，，

为的中点，

，

，

．

，

四边形是平行四边形．

四边形是平行四边形，

，又，

，

四边形是矩形．

【解析】略
 

20.【答案】由已知易证，
．
 ，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形

由，四边形是菱形，
则．
由，
得．
在中，
，

可得．
 

【解析】略
 

21.【答案】解：四边形为菱形；
由作法得，
所以四边形为菱形；
四边形为菱形，
，，，
在中，，
．
 

【解析】本题考查了菱形的判定与性质．
利用作法得到四边相等，从而可判断四边形为菱形；
根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
 

22.【答案】解：由作图知：为线段的垂直平分线，
，，
又，
，
．

如图，设交于，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形为菱形．
 

【解析】由作图知：为线段的垂直平分线，从而得到，，然后根据得到，然后根据三角形的内角和定理即可得到；
利用证得≌，从而得到，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形为菱形．
本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，三角形的内角和，解题的关键是知道通过作图能得到直线的垂直平分线．
 

23.【答案】解：．
理由如下：连接，由正方形性质知，，

在和中，

所以，

所以．

由题意知，

所以四边形为矩形，

所以．

在中，根据勾股定理，得，

所以．
 

作于点，

由题意知，，

所以为等腰直角三角形，为含角的直角三角形，

因为，
所以，，

所以．

【解析】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
结论：只要证明，四边形是矩形，推出，在中，利用勾股定理即可证明；
过点作，在、中，求出、即可解决问题