新定义问题题型专题-2022年初中数学中考备考测试题

这是一份新定义问题题型专题-2022年初中数学中考备考测试题，共39页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
新定义问题题型专题
一、解答题
1．对于平面内的点 P 和图形 M，给出如下定义：以点 P 为圆心，以 r 为半径作⊙P，使得图形 M 上的所有点都在⊙P 的内部（或边上），当 r 最小时，称⊙P 为图形 M 的 P 点 控制圆，此时，⊙P 的半径称为图形 M 的 P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中， 正方形 OABC 的位置如图所示，其中点 B（2，2）
（1）已知点 D（1，0），正方形 OABC 的 D 点控制半径为 r1，正方形 OABC 的 A 点 控制半径为 r2，请比较大小：r1 r2；
（2）连接 OB，点 F 是线段 OB 上的点，直线 l：y= x+b；若存在正方形 OABC 的 F点控制圆与直线 l 有两个交点，求 b 的取值范围．

2．已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点_____为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．
①补全图；
②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；
③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

3．在△ABC中，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，PA为半径的⊙P与△ABC的交点不少于4个，点P称为△ABC 关于∠BAC的“劲度点”，线段 PA的长度称为△ABC 关于∠BAC的“劲度距离”．
（1）如图，在∠BAC平分线AD上的四个点、、、中，连接点A和点 的线段长度是△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．

（2）在平面直角坐标系中，已知点M（0，t），N （4，0）．
①当t=时，求出△MON 关于∠MON的“劲度距离”的最大值．
②如果内至少有一个值是△MON 关于∠MON的“劲度距离”，请直接写出t的取值范围．

4．在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，，则称p为这k个点的“特征值”，记为．如图1，点．

（1）如图2，圆C的圆心为，半径为5，与x轴交于A，B两点．
①________， _________；
②直线与圆C交于两点D，E，若，求b的取值范围；
（2）点到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，，若抛物线恰好经过中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a的所有可能取值．
5．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作于点H任取直线l上点Q，点H关于直线的对称点为点，标点为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系中，

（1）已知点，则点中是点P关于x轴的垂对点的是_______；
（2）已知点，且，直线上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；
（3）已知点，若直线上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n的取值范围，

6．在△ABM中，∠ABM＝90°，以AB为一边向△ABM的异侧作正方形ABCD，以A为圆心，AM为半径作⊙A，我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的内部（或圆上），我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD是⊙A的“关于△ABM的友好正方形”．
（1）图2中，△ABM中，BA＝BM，∠ABM＝90°，在图中画出⊙A的“关于△ABM的友好正方形ABCD”．
（2）若点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）上，它的横坐标是2，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求k的取值范围．
（3）若点A是直线y＝﹣x+2上的一个动点，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围．

7．已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ＞0，则称图形M与图形N相离．
（1）已知点A（1，2）、B（0，﹣5）、C（2，﹣1）、D（3，4）．
①与直线y＝3x﹣5相离的点是　 　；
②若直线y＝3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；
（2）设直线y＝x+3、直线y＝﹣x+3及直线y＝﹣2围成的图形为W，⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直接写出⊙T与图形W相离的t的取值范围．

8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且，．给出如下定义：若平面上存在一点P，使是以线段为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
       
（1）已知点A的坐标为．
①若点B的坐标为，在点、和中，是点A、点B的“直角点”的是_________；
②点B在x轴的正半轴上，且，当直线上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）的半径为r，点为点、点的“直角点”，若使得与有交点，直接写出半径r的取值范围．
9．在平面中，给定线段AB和C，P两点，点C与点P分布在线段AB的异侧，满足，则称点C与点P是关于线段AB的关联点．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．
（1）在，，三个点中，点O与点P是关于线段AB的关联点的是________；
（2）若点C与点P是关于线段OA的关联点，求点P的纵坐标m的取值范围；
（3）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段AB上存在点P与点O是关于线段EF的关联点，直接写出b的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，对于⊙内的一点，若在⊙外存在点，使得，则称点为⊙的二倍点．
（1）当⊙的半径为2时，
①在，，三个点中，是⊙的二倍点的是 ；
②已知一次函数与y轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙的二倍点，求a的取值范围．
（2）已知点，，，⊙的半径为2，若线段BC上存在点P为⊙的二倍点，直接写出m的取值范围 ．
11．在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴，直线的完美点．
（1）如图1，点．
①若点是点关于轴，直线的完美点，则点的坐标为__________ ；
②若点是点关于轴，直线的完美点，则的值为__________；
（2）如图2，⊙的半径为1．若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在函数的图象上，求的取值范围；
（3）是轴上的动点，⊙的半径为2，若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在轴上，直接写出的取值范围．

12．对于平面直角坐标系中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．

（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为，则点B的坐标为_______；
②若点B的坐标为，则点A的坐标为_______．
（2）．线段关于点G的“垂直图形”记为，点E的对应点为，点F的对应点为．
①求点的坐标（用含a的式子表示）；
②若的半径为，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．
13．对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．
（1）已知．
①在点中，是线段的“等幂点”的是_____________；
②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；
（2）已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分，若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．
14．如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是上不重合的两个点，连结．当时，我们称点P为的“关于的关联点”．
       
（1）如图2，当点P在上时，点P是的“关于的关联点”时，画出一个满足条件的，并直接写出的度数；
（2）在平面直角坐标系中有点，点M关于y轴的对称点为点N．

①以点O为圆心，为半径画，在y轴上存在一点P，使点P为“关于的关联点”，直接写出点P的坐标；
②点是x轴上一动点，当的半径为1时，线段上至少存在一点是的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．
15．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，M，N为该正方形外两点，．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段，使点分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（分别为点M，N，P的对应点），线段长度的最小值称为线段MN到正方形的“平移距离”．
（1）如下图，平移线段MN，得到正方形内两条长度为1的线段，则这两条线段的位置关系是_______；若分别为的中点，在点中，连接点P与点_______的线段的长度等于线段MN到正方形的“平移距离”；

（2）如图，已知点，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形的“平移距离”为，求的最小值；

（3）若线段MN的中点P的坐标为，记线段MN到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范围．

1．（1）＜；（2）．
【详解】
解：（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝，r2＝AC＝，
∴r1＜r2；
（2）如图所示，圆O和圆B分别是以O，B为圆心，以OB长为半径的圆，
当直线l：与圆O相切于点M时，连接OM，可得OM与直线l垂直，
则直线OM的解析式为：，
设M（x，），
∵OM＝OB，
∴OM＝，
∴或（舍去），
∴M（，），
将（，）代入得：，
解得：，
当直线l：与圆B相切于点N时，连接BN，
同理可求出此时，
∴b的取值范围为：．

2．（1）A；（2）①补图见解析；②GF⊥x轴；证明见解析；③y=．
【详解】
解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，
故答案为A．
（2）①图形如图3所示．

②结论：GF⊥x轴．
理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，
∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，
∴∠GEF＝∠PEO，
∴△GEF≌△PEO（SAS），
∴∠GFE＝∠EOP，
∵OE⊥OP，
∴∠POE＝90°，
∴∠GFE＝90°，
∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，
∴四边形EFHO是矩形，
∴∠FHO＝90°，
∴FG⊥x轴．
③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，

∵E（0，5），
∴OE＝5，
∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，
∴四边形EFHO是正方形，
∴OH＝OE＝5，
∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x．
如图4﹣2中，当x＞5时，

y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．
综上所述，y=．
3．（1）；（2）①；②或．
【详解】
（1）以AP为半径，以点P为圆心作圆，则符合要求．

故答案为：；
（2）①作∠MON的角平分线OE，ON的垂直平分线PF，OE和PF相交于点P，此时⊙P过点N，线段OP的长度是△MON 关于∠MON的“劲度距离”最大值．
易知，OE的函数表达式为y=x， PF的函数表达式为x=2，从而可得其交点坐标为P（2，2）．
∴=OP=；

②由题意可知，圆心都在直线y=x上，
①当t>0时，
当d最大为时，圆P经过点N，此时和①一样，点M在（0，5）处，即t=5；
当d最小为时，圆P经过点M，此时点P的纵坐标为 ，所以点P的坐标（，），再由OP=可得，解得t=2；
∴当t>0时，t的取值范围为．
②同理，当t