初中数学中考复习 专题6　新定义与阅读理解型问题

专题6　新定义与阅读理解型问题

一、选择题

1．(2019·柳州)定义：形如a＋bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝－1)，a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(1＋3i)2＝12＋2×1×3i＋(3i)2＝1＋6i＋9i2＝1＋6i－9＝－8＋6i，因此，(1＋3i)2的实部是－8，虚部是6.已知复数(3－mi)2的虚部是12，则实部是( C )

A．－6    B．6    C．5    D．－5

2．(2019·百色)阅读理解：

已知两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中点K(x，y)的坐标公式为：x＝，y＝.如图，已知点O为坐标原点，点A(－3，0)，⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P(a，b)，则有a，b满足等式：a2＋b2＝9.设B(m，n)，则m，n满足的等式是( D )

A.m2＋n2＝9

B．()2＋()2＝9

C．(2m＋3)2＋(2n)2＝3

D．(2m＋3)2＋4n2＝9

3．(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7＋4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于－，设x＝－，易知＞，故x＞0，由x2＝(－)2＝3＋＋3－－2＝2，解得x＝，即－＝.根据以上方法，化简＋－后的结果为( D )

A．5＋3    B．5＋

C．5－    D．5－3

二、填空题

4．定义：a*b＝，则方程2*(x＋3)＝1*(2x)的解为__x＝1__．

5．已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1.现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝__1.1__．

6．(2019·贵港)我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|(a≠0，且b2－4a＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2－2x－3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当－1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝－1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是__4__．

三、解答题

7．(2019·黔东南州)某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：

对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，－3}＝－3，min(3，1，1}＝1.请结合上述材料，解决下列问题：

(1)①M{(－2)2，22，－22}＝________，

②min{sin 30°，cos 60°，tan 45°}＝________；

(2)若min(3－2x，1＋3x，－5}＝－5，则x的取值范围为________；

(3)若M{－2x，x2，3}＝2，求x的值；

(4)如果M{2，1＋x，2x}＝min{2，1＋x，2x}，求x的值．

解：(1)①M{(－2)2，22，－22}＝，②min{sin 30°，cos 60°，tan 45°}＝；

(2)∵min(3－2x，1＋3x，－5}＝－5，

∴解得－2≤x≤4；

(3)∵M{－2x，x2，3}＝2，∴＝2，解得x＝－1或3；

(4)∵M{2，1＋x，2x}＝min{2，1＋x，2x}，

又∵＝x＋1，∴

解得1≤x≤1，∴x＝1.

8．(2019·荆州)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图象上，则称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：y＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．

(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．

解：(1)∵y＝x2－4，∴其顶点坐标为(0，－4)，

∵y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，∴(0，－4)在一次函数y＝－x＋p的图象上，∴－4＝0＋p.∴p＝－4，∴一次函数为：y＝－x－4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为(0，－4)，(－4，0)，∴直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积为：×4×4＝8；

(2)设函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝n，

∴|x1－x2|＝＝，

∵函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点间的距离为4，∴＝4，解得，n＝－3，

∴函数y＝x2＋2x＋n为：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴其顶点坐标为(－1，－4)，∵y＝x2＋2x＋n是y＝mx－3(m≠0)的伴随函数，∴－4＝－m－3，∴m＝1.

9．(2019·镇江)【材料阅读】

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺(古人称它为“复矩”)，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．

【实际应用】

观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°.PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON.

(1)求∠POB的度数；

(2)已知OP＝6400 km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．(π取3.1)

解：(1)设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：

则∠DHC＝67°，∵∠HBD＋∠BHD＝∠BHD＋∠DHC＝90°，∴∠HBD＝∠DHC＝67°，∵ON∥BH，∴∠BEO＝∠HBD＝67°，∴∠BOE＝90°－67°＝23°，∵PQ⊥ON，∴∠POE＝90°，∴∠POB＝90°－23°＝67°；

(2)同(1)可证∠POA＝31°，

∴∠AOB＝∠POB－∠POA＝67°－31°＝36°，

∴＝＝3968(km).