几何综合题型专题-2022年初中数学中考备考测试题（二）

这是一份几何综合题型专题-2022年初中数学中考备考测试题（二），共31页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
几何综合题型专题（二）
一、解答题
1．在中，，是直线上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE=CD，过点E作，交直线于点
（1）如图1，当点D为线段的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点D为线段的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；

2．如图，已知是矩形的对角线，，点是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，使点在射线上，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

3．在中，，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作于点M，过点B作于点N．
（1）求证：CM＝BN；
（2）取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图形，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明；

4．已知：如图，在Rt中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，P是AB边上任意一点，D是AB边的中点，连接CP，CD，并将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，连接AE．
（1）求证：CD＝BC；
（2）①依题意补全图形；
②用等式表示线段PE与AE的数量关系，并证明．

5．在等腰三角形ABC中，，．点P是内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点逆时针旋转，使边与重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点（点与点D不重合）．
（1）依题意补全图和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为 ；
（2）探究与∠APM的数量关系为 ；
（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．

6．已知∠AOB＝120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合．

（1）依据题意补全图1；
（2）用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明；
（3）连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ＝4，并证明．
7．已知：是经过点A的一条直线，点C是直线左侧的一个动点，且满足，连接，将线段绕点C顺时针旋转60°，得到线段，在直线上取一点B，使．
       
（1）若点C位置如图1所示．
①依据题意补全图1；
②求证：；
（2）连接，写出一个的值，使得对于任意一点C，总有，并证明．
8．已知菱形中，，点为边上一个动点（不与点重合），点在边上，且，将线段绕着点逆时针旋转120°得线段，连接．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：为等边三角形
（3）用等式表示线段的数量关系，并证明．
9．如图，在中，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．

（1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．
（1）依题意补全图1；
（2）若DM＝1，求线段EF的长；
（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．

11．已知：在中，，以为斜边作等腰，使得A，D两点在直线的同侧，过点D作于点E．

（1）如图1，当时，
①求的度数；
②判断线段与的数量关系；
（2）若，线段与的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．
12．已知，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接．点A关于直线BQ的对称点为点C，连接．
（1）如下图，若P为线段AB的中点．

①直接写出的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如下图，若线段CP与BQ交于点D．

①设，求的大小（用含a的式子表示）；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
13．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90 点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ=CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点(与点A，D不重合)，过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．
(1)依题意补全图1；
(2)求证：NM=NF；
(3)若AM=CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．

14．如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明；
（3）连接CE，若AB＝2，请直接写出线段CE长度的最小值．

15．已知∠MON=α，A为射线OM上一定点，OA=5，B为射线ON上一动点，连接AB，满足∠OAB，∠OBA均为锐角．点C在线段OB上（与点O，B不重合），满足AC=AB，点C关于直线OM的对称点为D，连接AD，OD．
（1）依题意补全图1；
（2）求∠BAD的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若tanα=，点P在OA的延长线上，满足AP=OC，连接BP，写出一个AB的值，使得BP∥OD，并证明．

16．如图，在正方形中， ，是边上一动点（不与点重合），连接，点与点关于所在的直线对称，连接， ，延长到点，使得，连接，．
（1）依题意补全图1；
（2）若，求线段的长；
（3）当点在边上运动时，能使为等腰三角形，直接写出此时的面积．


1．（1）结论：AC=EF+FC，证明见解析；（2）EF=FC+AC，证明见解析．
【解析】
（1）过D作DH⊥CB于H，可得△FEC≌△HDC，故CH=FC，DH=EF，再由∠DHB=90°，∠B=45°，可得DH=HB=EF，从而可得AC=BC=CH+BH=FC+EF；
（2）依题意补全图形，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，可得△FEC≌△HDC，故CH=FC，DH=EF；又∠DHB=90°，∠B=45°，故DH=HB=EF，从而可得EF=CH+BC=FC+AC．
【详解】
(1)结论：AC=EF+FC．
证明：过D作DH⊥CB于H，

∵EF⊥CF于F，
∴∠EFC=∠DHC=90°，
∵∠FCE=∠DCH，EC=DC，
∴△FEC≌△HDC（AAS），
∴CH=FC，DH=EF
∵∠DHB=90°，∠B=45°，
∴DH=HB=EF，
∴AC=BC=CH+BH，
=FC+EF．
(2)依题意补全图形．

结论：EF=FC+AC．
证明：过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，

∵EF⊥CF于F，
∴∠EFC=∠DHC=90°，
∵∠FCE=∠DCH，EC=DC，
∴△FEC≌△HDC（AAS），
∴CH=FC，DH=EF，
∵∠DHB=90°，∠B=45°，
∴DH=HB=EF，
∴EF=CH+BC，
=FC+AC．
2．（1）见解析；（2）；（3），见解析
（1）按要求画图即可；
（2）利用角平分线的性质求得，，再根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在上截取，连接，利用SAS证明△≌△，推出,即可证得．
【详解】
（1）补全图形如图所示：

（2）∵是矩形的对角线，延长至，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
使线段在射线上，，
∴，
∵的平分线与的平分线交于点，
∴，，
∴；
（3）答：．
证明：在上截取，连接，

∵，
∴△是等边三角形，
∴，，
∵，
∴．
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴．
在△与△中，

∴△≌△(SAS),             
∴,
∵，
∴．
3．（1）见解析；（2）AM＝BN＋，见解析
（1）补全图形，由题意结合图形可知∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，即证明∠2＝∠3，即利用“AAS”即可证明△ACM≌△CBN，得出结论CM＝BN．
（2）补全图形，并连接连接OC，根据题意易得OC＝OB，∠3＝∠4＝45°．由全等三角形的性质可得AM＝CN，∠1＋∠3＝∠4＋∠2，从而证明出∠1＝∠2．即利用“SAS”即可证明△OCM≌△OBN，得出结论OM＝ON，∠5＝∠6．由，即可证明，即，即可证明．
【详解】
（1）补全图形如下，

证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3．
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN．
（2）依题意补全图形

结论：．
证明：连接OC，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB中点，
∴OC＝OB，∠3＝∠4＝45°．
∵△ACM≌△CBN，
∴AM＝CN，∠1＋∠3＝∠4＋∠2，
∴∠1＝∠2．
∵CM＝BN，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON，∠5＝∠6．
∵∠5＋∠7＝90°，
∴∠6＋∠7＝90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即．
4．（1）见解析；（2）①见解析；②PE＝AE，见解析
（1）根据直角三角形的性质证明 可得是等边三角形，从而可得结论；
（2）①根据题干的语句画图即可；②连接EC，ED，证明△EPC是等边三角形，再证明△ADE ≌△CDE，从而可得结论．
【详解】
（1）解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30° ，
∴∠ABC＝ 60°
∵D是AB边的中点，
∴CD＝BD．
∴△CDB是等边三角形
∴CD＝BC．
（2）①依题意画图如下：

②线段PE与AE之间的数量关系为PE＝AE．

证明：连接EC，ED
∵PE＝PC，∠EPC＝60°
∴△EPC是等边三角形
∴CP＝CE，∠ECP＝60°
∵∠DCB＝60°
∴∠ECD＝∠PCB，
∵CD＝CB，
∴△CPB≌△CED，
∴∠CDE＝∠B＝60°，
∵∠CDB＝60°
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠CDE
∵DA＝DC
∴△ADE ≌△CDE
∴AE＝CE
∴AE＝PE
5．（1）相等；（2）∠ADM＝∠APM或∠ADM ＋∠APM＝180°；（3），证明见解析
（1）按要求作图即可；
（2）△APB绕点A顺时针旋转得到△ADC可得∠ADC=∠APB，即可得到答案；
（3）由旋转的性质可知△ABP≌△ACD．由全等三角形的性质得出∠APB=∠ADC，AP=AD，BP=CD，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得出∠PAD=∠ADM=α，∠APM=∠M．证得OP=OA，OM=OD，则可得出结论．
【详解】
解：（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为相等；

故答案为：相等；
（2）∠ADM=∠APM或∠ADM+∠APM=180°．
当M在线段CD延长线上时，如上图1，
∵将△APB绕点A顺时针旋转得到△ADC，
∴∠ADC=∠APB，
∴∠ADM=∠APM，
当M在线段CD上时，如上图2，
∵将△APB绕点A顺时针旋转得到△ADC，
∴∠ADC=∠APB，
∵∠APB+∠APM=180°，
∴∠ADM+∠APM=180°，
故答案为：∠ADM=∠APM或∠ADM+∠APM=180°；
（3）如图，线段MC，AE，BD之间的数量关系是：MC=AE+BD．

证明：∵将△APB绕点A逆时针旋转α，使AB边与AC重合，得到△ADC，
∴△ABP≌△ACD．
∴∠APB=∠ADC，AP=AD，BP=CD，
∴∠ADM=∠APM．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDC．
∵AP=AD，
∴∠APD=∠ADP．
∴∠APD=∠PDC．
∴AP∥CM．
∴∠PAD=∠ADM=α，∠APM=∠M．
又由（2）知，∠ADM=∠APM=α，
∴OP=OA，OM=OD，
∴OP+OM=OM+OD，
∴PM=AD=AP，
∴BM=BP+PM．
∴BM=CD+AP．
6．（1）详见解析；（2）∠CQO+∠CPO＝180°，详见解析；（3）OC＝4时，对于任意点P，总有OP+OQ＝4，详见解析.
【详解】
（1）补图如图1：

（2）∠CQO+∠CPO＝180°，
理由如下：∵四边形内角和360°，
且∠AOB＝120°，∠PCQ＝60°，
∴∠CQO+∠CPO＝∠1+∠2＝180°．
（3）OC＝4时，对于任意点P，总有OP+OQ＝4．
证明：连接OC，在射线OA上取点D，使得DP＝OQ，连接CD．
∴OP+OQ＝OP+DP＝OD．
∵∠1+∠2＝180°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠1＝∠3．
∵CP＝CQ，
在△CQO和△CPD中
，
∴△COQ≌△CDP（SAS）．
∴∠4＝∠6，OC＝CD．
∵∠4+∠5＝60°，
∴∠5+∠6＝60°．
即∠OCD＝60°．
∴△COD是等边三角形．
∴OC＝OD＝OP+OQ＝4．
7．（1）①图见解析；②证明见解析；（2）时，对于任意一点C，总有；证明见解析．
【详解】
解：（1）① 补全图形，如图：
               
②证明：∵
∴
∵
∴
在四边形中，
∵
∴                                   
（2）时，对于任意一点C，总有                                      
证明：连接，在直线上截取，连接，

∵
∴
∴
∴
∴
∴是等边三角形．
∴．
8．（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析
【详解】
（1）解：补全图形，如图．

（2）证明：∵菱形，
．
又，
为等边三角形，
．
在和中，
，
,
，
，
为等边三角形．
（3）的数量关系为．
证明：如图2，取中点，连接，
，
，
．
又为等边三角形，
．
，
，即三点在同一条直线上，
，
．
．

9．（1），，理由见详解；（2），理由见详解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：，理由如下：
过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：

∴，
由（1）可得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．（1）详见解析；（2）；（3）1或．
【详解】
解：（1）根据题意作图如下：

（2）连接BM，如图2，

∵点D与点E关于AM所在直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°，
∵BM＝BF，
∴△ADM≌△ABF（SAS），
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，
∴∠FAB＝∠NAE，
∴∠FAE＝∠MAB，
∴△FAE≌△MAB（SAS），
∴EF＝BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝3，
∵DM＝1，
∴CM＝2，
∴BM＝，
∴EF＝；
（3）设DM＝x（x＞0），则CM＝3﹣x，
∴EF＝BM＝，
∵AE＝AD＝3，AF＝AM＝，
∴AF＞AE，
∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE＝EF，或AF＝EF，
①当AE＝EF时，有＝3，解得x＝3
∴tan∠DAM＝；
②当AF＝EF时，＝，解得，x＝，
∴tan∠DAM＝，
综上，tan∠DAM的值为1或．
故答案为：tan∠DAM的值为1或．
11．（1）①；②，理由见详解；（2）图见详解，线段与的数量关系保持不变，理由见详解．
【详解】
解：（1）①∵△BDC是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
由①可得：∠CDE=∠EBD=25°，过点C作CH⊥AB，并延长，然后过点D作DF⊥CH的延长线于点F，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴CH∥DE，
∴∠FCD=∠CDE=∠EBD=25°，
∵△BDC是等腰直角三角形，
∴，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴DE=DF，CF=BE，
∴四边形是正方形，
∴HF=HE，
∵∠A=45°，
∴△AHC是等腰直角三角形，
∴AH=CH，
∵，
∴，
∴；
（2）线段与的数量关系保持不变，理由如下：
由题可得如图所示：

过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CG⊥ED，交ED延长线于点G，EG交AC于点F，如图，
∴，
∵∠A=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AFE=45°，
∴∠GFC=∠AFE=45°，
∴△GFC是等腰直角三角形，
∴GF=GC，
∵△BDC是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
12．(1)①，②补图见解析，，(2) ①,②CD =PD+DQ；
【详解】
解：(1)①∵，点P关于直线AN的对称点为点Q，
∴∠PAQ=2∠MAN=60°，AP=AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ=AP=BP，∠QPA=∠AQP =60°，
∴；
②补图如图所示：连接BC，由对称得，BC=BA，∠CBP=2∠ABQ=60°，
∴∠CBP=∠PAQ，
∵BP=AQ，
∴△CBP≌△BAQ，
∴CP=BQ，
，
∵AP=AQ，
∴；

(2) ①连接CQ，
∵，由对称可知，∠CQB=∠AQB=60°+，CQ=AQ=PQ，
∴∠CQP=，
∠CPQ=；
②在DC上截取DE=DQ，由①得，∠CPQ＋＝60°，
∴∠CDQ=∠CPQ＋＝60°，
∴△DEQ是等边三角形，
∴QE=QD，∠EQD=60°，
∵∠CQB=60°+，
∴∠CQE=∠PQD=，
∵QC=QP，QE=QD，
∴△QCE≌△QPD，
∴CE=PD，
∴CD=CE+ED=PD+DQ；

13．（1）见解析；（2）见解析；（3）BN=AE+GN，见解析.
【详解】
（1）依题意补全图1如图所示；

（2）∵CQ=CP，∠ACB=90°，
∴AP=AQ，
∴∠APQ=∠Q，
∵BD⊥AQ，
∴∠QBD+∠Q=∠QBD+∠BFC=90°，
∴∠Q=∠BFC，
∵∠MFN=∠BFC，
∴∠MFN=∠Q，
同理，∠NMF=∠APQ，
∴∠MFN=∠FMN，
∴NM=NF；
（3）连接CE，

∵AC⊥PQ，PC=CQ，
∴AP=AQ，
∴∠PAC=∠QAC，
∵BD⊥AQ，
∴∠DBQ+∠Q=90°，
∵∠Q+∠CAQ=90°，
∴∠CAQ=∠QBD，
∴∠PAC=∠FBC，
∵AC=BC，∠ACP=∠BCF，
∴△APC≌△BFC（AAS），
∴CP=CF，
∵AM=CP，
∴AM=CF，
∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠EAB=∠EBA，
∴AE=BE，
∵AC=BC，
∴直线CE垂直平分AB，
∴∠ECB=∠ECA=45°，
∴∠GAM=∠ECF=45°，
∵∠AMG=∠CFE，
∴△AGM≌△CEF（ASA），
∴GM=EF，
∵BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN，
∴BN=AE+GN．
14．（1）见解析；（2）EF＝DF+BE，证明见解析；（3）CE的最小值为．
【详解】
解：（1）依题意补全图形，如图，

（2）线段EF，DF，BE的数量关系为：EF＝DF+BE，
理由如下：如图，过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M，

∵∠M＝∠F＝∠AEF＝90°，
∴四边形AEFM是矩形，
∴∠DAE+∠MAD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，AB＝AD，
∴∠BAE＝∠MAD．
又∵∠AEB＝∠M＝90°，
∴△AEB≌△AMD（AAS）
∴BE＝DM，AE＝AM，
∴矩形AEFM是正方形，
∴EF＝MF，
∵MF＝DF+DM，
∴EF＝DF+BE；
（3）如图，取AB中点O，连接OC，

∵AB＝2
∴OB＝，
∴OC＝＝5，
∵∠AEB＝90°，
∴点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，
∴当点E在OC上时，CE有最小值，
∴CE的最小值为．
15．（1）补全图见解析；（2）180°﹣2α；（3），理由见解析
【详解】
解：（1）图形，如图所示．

（2），关于对称，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图2中，不妨设．作于，于．

在中，，，
，，设，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，
，
．
16．（1）见解析；（2）；（3）4.5或
【详解】
解：（1）根据题意，作图如下：

（2）连接，如图2．
点与点关于所在的直线对称，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；

（3）设，则，
，
，，
，
当为等腰三角形时，只能有两种情况：或，
①当时，有，
解得，
面积为；
②当时，
，
解得，
的面积为，
综上的面积为4.5或．