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高中数学湘教版(2019)必修 第一册3.1 函数学案
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3.1.3 简单的分段函数
新课程标准解读 | 核心素养 |
通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用 | 数学抽象、数学运算 |
某村电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度时,每度0.5元,超过30度时,超过部分按每度0.6元收取.
方案二:不收管理费,每度0.58元.
[问题] (1)老王家九月份按方案一交费35元,问老王家该月用电多少度?
(2)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
知识点 分段函数
1.定义:一般地,如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫作分段函数.
2.图象:分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分段函数的图象.
对分段函数的再理解
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.处理分段函数问题时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应关系;
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围;
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开写成几个集合的形式;
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.
函数y=是分段函数吗?它是一个函数还是两个函数?
提示:函数y=是分段函数,它是一个函数.
1.已知f(x)=则f(-2)=________.
答案:2
2.函数y=的定义域为________________,值域为____________.
答案:(-∞,0)∪(0,+∞) {-2}∪(0,+∞)
3.下列图形是函数y=x|x|的图象的是________(填序号).
答案:④
分段函数的定义域、值域 |
[例1] (1)已知函数f(x)=,则其定义域为( )
A.R B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
(2)函数f(x)=的定义域为________,值域为________.
[解析] (1)要使f(x)有意义,需x≠0,
故定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)由已知定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|-1<x<0}={x|-1<x<1},即(-1,1).又0<x<1时,0<-x2+1<1,-1<x<0时,-1<x2-1<0,x=0时,f(x)=0,故值域为(-1,0)∪{0}∪(0,1)=(-1,1).
[答案] (1)D (2)(-1,1) (-1,1)
1.分段函数定义域、值域的求法
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集;
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集.
2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
[跟踪训练]
函数f(x)=的值域是( )
A.R B.[0,+∞)
C.[0,3] D.[0,2]∪{3}
解析:选D 当x∈[0,1]时,f(x)=2x2∈[0,2],所以函数f(x)的值域为[0,2]∪{2,3}=[0,2]∪{3}.
分段函数求值问题 |
[例2] 已知函数f(x)=
(1)求f(f(f(-2)))的值;
(2)若f(a)=,求a.
[解] (1)∵-2<-1,∴f(-2)=2×(-2)+3=-1,
∴f(f(-2))=f(-1)=2,
∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+=.
(2)当a>1时,f(a)=1+=,∴a=2>1;
当-1≤a≤1时,f(a)=a2+1=,∴a=±∈[-1,1];
当a<-1时,f(a)=2a+3=,∴a=->-1(舍去).
综上,a=2或a=±.
1.求分段函数的函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间;
(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论;
(2)代入到不同的解析式中;
(3)通过解方程求出字母的值;
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
[跟踪训练]
1.已知函数f(x)=设f(0)=a,则f(a)=( )
A.-2 B.-1
C. D.0
解析:选A ∵a=f(0)=03-1=-1,
∴f(a)=f(-1)=2×(-1)=-2,故选A.
2.设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:选C 当0<a<1时,a+1>1,则f(a)=,
f(a+1)=2(a+1-1)=2a,
∵f(a)=f(a+1),∴=2a,解得a=.
∴f=f(4)=2×(4-1)=6.
当a≥1时,a+1≥2,∴f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a,则2(a-1)=2a,无解.
综上,f=6.
分段函数的图象及应用 |
[例3] (链接教科书第74页例6、例7)已知函数f(x)=1+(-2<x≤2).
(1)用分段函数的形式表示该函数;
(2)画出函数的图象;
(3)写出该函数的值域.
[解] (1)当0≤x≤2时,f(x)=1+=1,
当-2<x<0时,f(x)=1+=1-x.
∴f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示:
(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).
[母题探究]
(变条件)若本例条件变为“已知函数f(x)=|x|-2”,如何求解?
解:(1)f(x)=|x|-2=
(2)函数的图象如图所示:
(3)由图可知,f(x)的值域为[-2,+∞).
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象;
(2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.
[跟踪训练]
1.设x∈R,定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x的图象大致是( )
解析:选C 函数f(x)=|x|sgn x=故函数f(x)=|x|sgn x的图象为y=x所在的直线,故选C.
2.(多选)已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解可以是( )
A.1 B.2
C.-1 D.3
解析:选AC 当x≥0时,原不等式可化为x+x≤2,
∴x≤1,∴0≤x≤1;
当x<0时,原不等式可化为x≤2,
∴x<0.
综上,不等式的解集为(-∞,1].故可选A、C.
分段函数的应用问题 |
[例4] (链接教科书第73页例5)某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时2元,某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时.
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30),在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30),试求f(x)与g(x)的解析式;
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算,为什么?
[解] (1)由题意f(x)=6x,x∈[12,30],
g(x)=
(2)①12≤x≤20时,6x=90,解得x=15,
即当12≤x<15时,f(x)<g(x),
当x=15时,f(x)=g(x),
当15<x≤20时,f(x)>g(x).
②当20<x≤30时,f(x)>g(x),
故当12≤x<15时,选A俱乐部合算,
当x=15时,两家俱乐部一样合算,
当15<x≤30时,选B俱乐部合算.
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画;
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.
[跟踪训练]
某地区电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题:
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)利用函数解析式,说明电力公司采取的收费标准.
解:(1)当0≤x≤100时,设函数解析式为y=kx(k≠0).
将x=100,y=65代入,得k=0.65,所以y=0.65x.
当x>100时,设函数解析式为y=ax+b(a≠0).
将x=100,y=65和x=130,y=89代入,得解得
所以y=0.8x-15.
综上可得y=
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时,每度电0.65元;超过100度时,超出的部分,每度电0.80元.
1.设函数f(x)=则f(f(3))=( )
A. B.3
C. D.
解析:选D 由题意得f(3)=,从而f(f(3))=f=+1=.
2.(多选)下列给出的函数是分段函数的是( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
解析:选AD 对于B,取x=2,得f(2)=3或4,对于C,取x=1,f(1)=5或1,所以B、C都不合题意,故选A、D.
3.函数f(x)=|x-1|的图象是( )
解析:选B 法一:函数的解析式可化为y=画出此分段函数的图象,故选B.
法二:由f(-1)=2,知图象过点(-1,2),排除A、C、D.
4.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是________.
解析:由题图可知,f(x)的图象是由两条线段组成的.当-1≤x<0时,设f(x)=ax+b(a≠0),将(-1,0),(0,1)代入解析式,
得解得
当0≤x≤1时,设f(x)=kx(k≠0),将(1,-1)代入,得k=-1.
所以f(x)的解析式为f(x)=
答案:f(x)=
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