湘教版（2019）必修 第一册5.5 三角函数模型的简单应用学案及答案

5．5　三角函数模型的简单应用

如图是交变电流产生的示意图．线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流(电刷及回路等部分省略)，当线圈处于如图所示的位置时，线圈中的感应电流y达到最大值A；当线圈由此位置逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时，线圈中的感应电流y为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时，线圈中的感应电流y达到反向最大值－A；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂直位置时，线圈中的感应电流y又一次为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达图示位置时，线圈中的感应电流y又一次达到最大值A.这样周而复始，形成周期变化．

[问题]　(1)交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型刻画？

(2)以如图位置开始计时，则模型的初相是多少？

知识点　利用三角函数模型解决实际问题的思路

1．现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？

提示：三角函数模型．

2．三角函数模型的应用主要体现在哪两个方面？

提示：①已知函数模型求解数学问题；

②把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．

1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．

答案：80

2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝时，电流为________A.

答案：

[例1]　(链接教科书第194页例1)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ).

(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？

[解]　(1)由题图，可知A＝300.

∵T＝－＝，

∴ω＝＝100π，

∴I＝300sin(100πt＋φ)．

将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，

∴φ＝＋2kπ，k∈Z.

∵|φ|<，∴φ＝，

∴I＝300sin.

(2)由题意，知≤，∴ω≥200π，

∴正整数ω的最小值为629.

处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．　　　　

[跟踪训练]

1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

A．T＝6，φ＝　　　　　 B．T＝6，φ＝

C．T＝6π，φ＝  D．T＝6π，φ＝

解析：选A　T＝＝＝6，∵图象过(0，1)点，∴sin φ＝.∵－＜φ＜，∴φ＝.

2．已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin.

(1)求小球开始振动的位置；

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．

解：(1)令t＝0，得h＝3sin＝，所以开始振动的位置为.

(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即所求最高点为；当h＝－3时，t的最小值为，即所求最低点为.

[例2]　(链接教科书第195页例2)某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．

(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)近似描述，求该函数解析式；

(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐？

[解]　(1)因为函数为y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，

由①，得周期T＝＝12，所以ω＝.

由②，得f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故A＝200.

由③，得f(x)在[2，8]上递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500，

所以

解得

因为f(2)最小，f(8)最大，

所以

由于0＜|φ|＜π，因此φ＝－，

所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为

y＝f(x)＝200sin＋300(x∈N*，且1≤x≤12)．

(2)由条件可知200sin＋300≥400，

化简得sin≥，

所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．

解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z)．

因为x∈N*，且1≤x≤12，

所以x＝6，7，8，9，10.

即只有6，7，8，9，10五个月份要准备不少于400人的用餐．

解三角函数应用问题的基本步骤

[跟踪训练]

1．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．

解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，

所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，

即sin＝－1，

此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，

因为ω>0，所以令k＝1，

得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝.

故ω的最小值为.

答案：

2．某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长98米，匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，求当此人第四次距离地面米时用了多少分钟？

解：如图，建立平面直角坐标系．

设某人登上摩天轮t分钟时距地面y米，此时该人随摩天轮转过的角为α，则α＝t＝t.

y＝－cost＝－49cost＋59(t≥0)．

令－49cost＋59＝，得cost＝，

∴t＝2kπ±(k∈Z)，

故t＝18k±3，k∈Z，由t≥0得t＝3，15，21，33，….

故当此人第四次距离地面米时用了33分钟．

[例3]　(链接教科书第197页习题5题)某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：

(1)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．

[解]　(1)由数据知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|<π.可知A＝，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.把t＝0，y＝1代入y＝sin＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y＝sin t＋1(0≤t≤24)．

(2)由y＝sin t＋1≥0.8，得sin t≥－，则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．

根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题．　　　　

[跟踪训练]

下表是某地某年月平均气温(华氏)：

以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴．

(1)用正弦曲线去拟合这些数据；

(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；

(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？

①＝cos；②＝cos；③＝cos.

解：(1)如图：

(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，

故＝7－1＝6，所以T＝12.

因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，

即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.

(3)因为模型①的周期为12π，所以由(2)知①错误；由模型②知当x＝0时，y取最大值，而x＝月份－1，即1月份的气温最高，这与(2)中的结论矛盾，所以应选③.

1.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，同点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)

A．y＝sin  B．y＝sin

C．y＝sin  D．y＝sin

解析：选C　∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，∴ω＝－＝－(弧度/秒)，

由P0，得cos φ＝，sin φ＝.解得φ＝.

∴y＝sin，故选C.

2．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.

解析：设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t.

答案：y＝－4cos t

3．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]．

(1)求该地区这一段时间内的最大温差；

(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？

解：(1)x∈[4，16]，则x－∈.

由函数解析式易知，当x－＝，即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃；

当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20(℃)．

(2)令10sin＋20＝15，

可得sin＝－，而x∈[4，16]，

所以x＝.

令10sin＋20＝25，

可得sin＝，

而x∈[4，16]，所以x＝.

故该细菌在这段时间内能存活－＝(小时)．