专题2.1三角形的证明学习质量检测卷（A卷）-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

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姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•蚌埠期末）已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（ ）
A．12B．9C．10D．12或9
【分析】由等腰形三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案．
【解析】①若5为腰长，2为底边长，
∵5，5，2能组成三角形，
∴此时周长为：5+5+2＝12；
②若2为腰长，5为底边长，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形，故舍去；
∴周长为12．
故选：A．
2．（2021秋•松山区期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AE+DE＝3cm，那么AC等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【分析】利用角平分线的性质可得DE＝EC，然后再利用线段的和差关系可得答案．
【解析】∵BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，
∴DE＝EC，
∵AE+DE＝3（cm），
∴AE+EC＝3（cm），
即：AC＝3cm，
故选：B．
3．（2021秋•平阴县期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD； ③∠BAC＝∠BAD； ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．
【解析】①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当∠BAC＝∠BAD时，由∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
④当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
故选：D．
4．（2021秋•路北区期末）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】先根据等腰三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线，得出∠ABC＝∠ACD，∠ABE＝∠ACE．可求出∠ABE的值．
【解析】∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴AD是BC的线段垂直平分线，
∵E是AD上一点，
∴EB＝EC，
∴∠EBD＝∠ECD，
∵∠CED＝50°，
∴∠ECD＝40°，
又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
故选：C．
5．（2021秋•庐阳区期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝5cm，则PD的长可以是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
【分析】过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，根据角平分线的性质求出此时PD的长度，再逐个判断即可．
【解析】过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PD＝PC，
∵PC＝5cm，
∴PD＝5（cm），
即PD的最小值是5cm，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
6．（2021秋•江汉区期末）下列命题：
①等腰三角形的高、中线和角平分线重合；
②到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上．
正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据等腰三角形、角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可．
【解析】①等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线互相重合，原命题是假命题；
②在角的内部，到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，原命题是假命题；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，是真命题；
故选：B．
7．（2021秋•南关区校级期末）如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q．延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，则△MGQ周长是（ ）
A．8+23B．6+43C．8+43D．6+23
【分析】求出△PMN是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠PMN＝∠PNM＝60°，PM＝MN＝PN，求出PQ＝NQ＝2，根据勾股定理求出MQ，求出GQ＝MQ＝23，再求出答案即可．
【解析】∵△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，
∴△PMN是等边三角形，
∴∠PMN＝∠PNM＝60°，PM＝MN＝PN，
∵△MNP的周长为12，
∴MN＝PN＝PM＝4，
∵MQ⊥PN，
∴NQ＝PQ＝2，∠MQN＝90°，∠QMN=12∠PMN＝30°，
在Rt△MQN中，由勾股定理得：MQ=MN2-NQ2=42-22=23，
∵NG＝NQ，
∴∠G＝∠GQN，
∵∠G+∠GQN＝∠PNM＝60°，
∴∠G＝30°，
∵∠NMQ＝30°，
∴∠G＝∠GQN，
∴GQ＝AQ＝23，
∵MN＝4，NG＝NQ＝2，
∴△MGQ周长是MG+GQ+MQ＝（4+2）+23+23=6+43，
故选：B．
8．（2021秋•东城区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解析】过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积=12AB⋅OE=12×20×5=50，
故选：C．
9．（2021秋•道里区期末）如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．以下结论：①PA＝PC；②∠BPC＝90°+12∠BAC；③∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠ABC．一定正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，根据线段垂直平分线的判定定理、等腰三角形的性质即可．
【解析】∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝PC，①正确；
∵PA＝PB，PA＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，
∵∠BPC＝∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC＝2∠BAC，故②错误；
同理：∠APC＝2∠ABC，故④正确；
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵∠BPC+∠PCB+∠PBC＝180°，
∴2∠BAC+2∠PCB＝180°，
∴∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°；③正确；
故选：C．
10．（2021秋•河北区期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+12∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB； ③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【解析】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=12∠CBA，∠OAB=12∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°-12∠CBA-12∠CAB＝180°-12（180°﹣∠C）＝90°+12∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，BH=BE∠HBO=∠EBOBO=BO，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中，∠HAO=∠FAOAO=AO∠AOH=∠AOF，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC=12×AB×OM+12×AC×OH+12×BC×OD=12（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•丰台区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D点，若BD＝1，则AD＝ 3 ．
【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD＝AB﹣BD计算即可得解．
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∵BD＝1，
∴BC＝2BD＝2，AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
12．（2021秋•揭西县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO是边长为2的等边三角形，则A点的坐标是 (1，-3) ．
【分析】过A作AE⊥x轴于E，根据等边三角形性质求出OE，根据勾股定理求出AE，即可得出答案．
【解析】过A作AE⊥x轴于E，
∵△ABO是等边三角形，边长为2，
∴OA＝2，OE＝BE＝1，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AE=OA2-OE2=22-12=3，
即点A的坐标为（1，-3）．
故答案为：（1，-3）．
13．（2021秋•江汉区期末）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ 115° ．
【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，由三角形的内角和定理可求出x+y＝65°，则可得出答案．
【解析】∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
14．（2021秋•西城区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E．若AD＝12，则DE＝ 6 ；△EDC与△ABC的面积关系是：S△EDCS△ABC= 18 ．
【分析】由等边三角形的性质得出∠C＝∠BAC＝60°，由直角三角形的性质得出DE＝6，由直角三角形的性质得出BC＝4EC，根据三角形的面积公式可得出答案．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠BAC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠DAC=12∠BAC＝30°，
∵AD＝12，
∴DE=12AD＝6；
∵DE⊥AC，
∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∴EC=12DC，
∴BC＝4EC，
∵S△EDC=12ED⋅EC=12×6×EC＝3EC，S△ABC=12AD×BC=12×12×BC＝6BC＝24EC，
∴S△EDCS△ABC=3EC24EC=18．
故答案为：6，18．
15．（2021秋•平阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为 20 °．
【分析】由ED是AC的垂直平分线可得AE＝CE，求得∠BAE＝∠C＝35°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，即可求得∠BAC的度数，继而求得答案．
【解析】∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝35°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．
故答案为：20．
16．（2021秋•新化县期末）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1 ．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案是：2n﹣1．
17．（2021秋•宜春期中）如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P以2cm/秒的速度从点A出发沿A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为 1或3 秒．
【分析】依据等边三角形的性质即可得到∠A的度数，再根据△APQ是等边三角形，即可得到AP的长，进而分两种情况得到点P运动的时间．
【解析】如图，连接PQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵△APQ是等腰三角形，
∴△APQ是等边三角形，
又∵Q是AC的中点，
∴AQ＝AP＝2cm，
分两种情况：
①当点P由A向B运动时，t=AP2=22=1（秒）；
②当点P由B向A运动时，t=AB+BP2=4+22=3（秒）；
综上所述，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为1或3秒．
故答案为：1或3．
18．（2021秋•大武口区期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若DE＝2，BC＝7，S△ABC＝12，则AB的长为 5 ．
【分析】过D作DF⊥BA，交BA的延长线于F，根据角平分线的性质求出DE＝DF＝2，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解析】
过D作DF⊥BA，交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，
∵BC＝7，S△ABC＝S△ABD+S△BDC＝12，
∴12×AB×DF+12×BC×DE=12，
∴12×AB×2+12×7×2=12，
解得：AB＝5，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）求证：DC＝CF．
【分析】（1）利用平行线的性质求出∠EDC，再利用三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）想办法证明EC＝CD，EC＝CF即可解决问题．
【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣60°＝30°．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
20．（2021秋•怀宁县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠C＝40°，得到答案；
（2）根据三角形的周长公式计算即可．
【解析】（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
21．（2021秋•历城区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若AB＝6，求DE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得到：AD⊥BC，即∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF；
（2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解析】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，
即∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝6，
∴AD＝3，
在Rt△ADE中，AD＝3，∠DAE＝30°，
∴DE=3．
22．（2021秋•邗江区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC
（2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值．
【解析】（1）连接AE，
∵EF垂直平分AB
∴AE＝BE
∵BE＝AC
∴AE＝AC
∵D是EC的中点
∴AD⊥BC
（2）设∠B＝x°
∵AE＝BE
∴∠BAE＝∠B＝x°
∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°
∵AE＝AC
∴∠C＝∠AEC＝2x°
在三角形ABC中，3x°+75°＝180°
x°＝35°
∴∠B＝35°
23．（2021秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解析】（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t=103，
∴点M、N运动103秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠C=∠B∠AMC=∠ANBAC=AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y=403．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为403秒．
24．（2021秋•永年区期末）如图，在△ABC中，点 E、F分别在AB、AC上，AD是EF的垂直平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，EF交AD于点G．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC＝60°，求证：DE＝2DG．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DE＝DF，结合DE⊥AB，DF⊥AC可证明AD平分∠BAC；
（2）由（1）可∠EAD＝30°，由余角的性质可求得∠DEG＝∠EAD＝30°，再利用含30° 角的直角三角形的性质可证明结论．
【解析】证明：（1）∵AD是EF的垂直平分线，
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC
（2）∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=12∠BAC＝30°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD+∠AEG＝∠DEG+∠AEG＝90°，
∴∠DEG＝∠EAD＝30°，
∴DE＝2DG．
25．（2021秋•潮州期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，即可证明结论；
（2）设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，得∠E＝∠DCE＝60°﹣α，根据三角形内角和定理可得α＝15°，过D作DH⊥CE于H，根据等腰直角三角形的性质即可得DH的长，进而可得结论．
【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH=12EC=12×8＝4，
∴△EDC的面积=12×EC•DH=12×8×4＝16．
26．（2021秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解析】（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．