专题1.3图形的平移与旋转（精讲精练）-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车（北师大版）

专题1.3图形的平移与旋转（精讲精练）

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【知识梳理】

1.平移：

（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离

（2）平移的性质

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．

（3）平移变换与坐标变化

向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）
向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）

3. 旋转：

（1）旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．

③旋转前、后的图形全等．

（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．

注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．

4.中心对称：

（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．

（3）把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

5. 关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．

【典例剖析】

考点1图形的平移

【例1】（2021秋•会宁县期末）线段CD是由线段AB平移得到的，点A（3，﹣1）的对应点C的坐标是（﹣2，5），则点B（0，4）的对应点D的坐标是（　　）

A．（5，﹣7） B．（4，3） C．（﹣5，10） D．（﹣3，7）

【变式1-1】（2021秋•松江区期末）如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上），如果BC＝8cm，EC＝5cm，那么平移距离为（　　）

A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm

【变式1-2】（2021•滨城区模拟）如图，已知一个斜边长为2的直角三角板的直角顶点与原点重合，两直角边分别落在两个坐标轴上．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（1，0） B．（，） C．（1，） D．（﹣1，）

【变式1-3】（2021秋•江州区期中）将点P（﹣2，6），先向右平移4个单位，再向下平移4个单位，则平移后得到点的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，10）

考点2旋转的性质

【例2】（2021•武汉模拟）如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A＝33°，∠B＝30°，则∠ACE的大小是（　　）

A．63° B．58° C．54° D．52°

【变式2-1】（2021秋•南关区校级期末）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若AD∥BC，则∠ABE的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°

【变式2-2】（2021秋•松山区期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）

A． B． C．4 D．6

【变式2-3】（2021秋•巩义市期末）如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠E的度数为（　　）

A．50° B．75° C．65° D．60°

【变式2-4】（2021秋•海勃湾区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：

①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；

其中一定正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④

考点3中心对称

【例3】（2021•延庆区一模）下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式3-1】（2021春•长春期末）如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠AOB＝∠A'OB' 

C．AB＝A'B' D．OA＝OB'

【变式3-2】（2019秋•任丘市期末）已知下列命题，其中正确的个数是（　　）

（1）关于中心对称的两个图形一定不全等；

（2）关于中心对称的两个图形是全等形；

（3）两个全等的图形一定关于中心对称．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【变式3-3】（2021•东营区一模）如图，将△ABC绕点C（0，）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A'的坐标为（　　）

A．（﹣a，﹣b） B．（a，﹣b+2） C．（﹣a，﹣b） D．（﹣a，﹣b+2）

考点4关于原点对称点的性质

【例4】（2021春•浦东新区校级期末）已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．

（1）求点A、B、C、D的坐标；

（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．

【变式4-1】（2021秋•镇原县期末）点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝（　　）

A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2

【变式4-2】（2021秋•韩城市期中）已知点P（2x，y2+4）与Q（x2+1，﹣4y）关于原点对称，求x+y的值．

【变式4-3】（2021春•肇源县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．

（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是　4　；

（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为　（﹣4，﹣3）　；

（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．

考点5关于旋转作图问题

【例5】（2021秋•平定县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．

（1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称；

（2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2；

（3）直接写出点B关于点C对称点的坐标．

【变式5-1】（2021秋•嘉定区期末）如图，已知△ABC的三个顶点在小方格顶点上（小方格的边长为1个单位长度），按下列要求画出图形和回答问题：

（1）在图中画出：△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C1；

（2）在图中画出：（1）中的△A1B1C1关于直线MN的轴对称的图形△A2B2C2；

（3）在（2）中的△A2B2C2可以用原△ABC通过怎样的一次运动得到的？请你完整地描述这次运动的过程．

【变式5-2】（2021秋•新抚区期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．

（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1；

（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，写出B2和C2的坐标；

（3）直接写出△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积．

【变式5-3】（2021秋•铁力市期末）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答．

（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C′．

（2）把△ABC向右平移6个单位得△A″B″C″．

（3）△A′B′C′与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．

【变式5-4】（2021秋•抚顺县期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度．Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C并写出点B1的坐标；

（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2，并写出点B2的坐标；

（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心P点的坐标．

考点6平移对称有关作图问题

【例6】（2021秋•南岗区期末）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点，A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．将三角形ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1．

（1）画出平移后的三角形；

（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标：

（3）请直接写出三角形的面积为　　．

【变式6-1】（2021秋•道外区期末）已知，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（5，6），B（﹣2，3），C（3，1）．请在所给的平面直角坐标系中按要求完成以下问题：

（1）画出三角形ABC；

（2）将三角形ABC先向下平移6个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到的三角形A1B1C1（点A1，B1，C1分别是点A，B，C移动后的对应点）．

①请画出三角形A1B1C1；

②并判断线段AC与A1C1的位置与数量关系．

【变式6-2】（2021秋•香坊区校级期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1．在图中平移三角形ABC，使点A移到点D处，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．

（1）请在方格纸中画出平移后的三角形DEF；

（2）分别连接CD，CF，请直接写出三角形CDF的面积；

（3）过点D作CF的垂线，垂足为H，延长AB交直线DH于点G，请画出图形；直接写出四边形BGHC的面积．

【变式6-3】（2021秋•杭州期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．

（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；

（2）点D（m，n）是△ABC边BC上任意一点，三角形经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（m+6，n﹣2）．

①直接写出点B1的坐标　    　；

②画出△ABC平移后的△A1B1C1．

（3）在y轴上是否存在点P，使△AOP的面积等于△ABC面积的，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式6-4】（2021春•工业园区校级期中）如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．

（1）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．

（2）连接AD、BE，那么AD与BE的关系是　      　，线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积为　　．

考点7关于旋转的几何综合问题

【例7】（2021秋•齐河县期末）如图，点O是等边△ABC内一点，将△BOC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，连接OD．

（1）求证：△BOD是等边三角形；

（2）若AD＝AO，∠AOC＝100°时，求∠BOC的度数．

【变式7-1】（2021秋•同心县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上．

（1）若AC＝4，求DE的值；

（2）确定△ACD的形状，并说明理由．

【变式7-2】（2021秋•肇源县期末）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．

（1）求点P与点Q之间的距离；

（2）求∠APB的度数．

【变式7-3】（2021秋•松山区期末）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．

求：①旋转角的度数　；

②线段OD的长　　；

③求∠BDC的度数．

（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．