专题05 矩形的性质和判定-2021-2022学年八年级数学下学期期中专项复习（人教版）

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专题05 矩形的性质和判定
姓名：___________考号：___________分数：___________

（考试时间：100分钟 满分：120分）

一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN是△ABC的外角平分线，BN⊥AN于点N，且AB＝4，MN＝2.8，则AC的长是（ ）

A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8
【答案】C
【分析】
延长CA得射线CD，取AB的中点E，连接NE、ME，可证N、E、M三点共线，即MN与AB的交点即为AB的中点E，从而易得ME，由AC=2ME即可求解．
【解析】
解：延长CA得射线CD，取AB的中点E，连接NE、ME，如图，

∵M为BC的中点，
∴MEAC，MEAC
∵BN⊥AN，
∴是直角三角形，
∴AE=NEAB=2
又∵AN是△ABC的外角平分线，
∴
∵
∴NEAC
∴N、E、M三点共线，即MN与AB的交点即为AB的中点E，
∵NE＝2，MN＝2.8
∴ME=0.8
∴AC=2 ME=2=1.6
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质，解题的关键是准确作出辅助线，得出M、N、AB的中点三点共线．
2．如图，矩形ABCD中，AB：AD=2：1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，当PB的最小值为3时，AD的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】
根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质和已知线段数量关系易证BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由等腰直角三角形的性质求解即可．
【解析】
如图：

当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1．
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2=CE，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB∶AD=2∶1，E为AB的中点，
∴△CBE，△ADE，△BCP1均为等腰直角三角形，CP1=BC，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，
∴∠DP2P1=90°，
∴∠DP1P2=45°，
∴∠P2P1B=90°，
即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC，
∴BP1=BC，
又PB的最小值是3，
∴AD=BC=3，
故选B．
【点睛】
本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，点P在边AB上．BC=6， AC=8， ( )
A．若∠ACP=45°， 则CP=5 B．若∠ACP=∠B，则CP=5
C．若∠ACP=45°，则CP= D．若∠ACP=∠B，则CP=
【答案】D
【分析】
四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线， B、D选项CP为底边上的高线，
根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线等于，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D选项．
【解析】
解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6， AC=8，

∴，
当CP为AB的中线时，，
若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；
若∠ACP=∠B，如图2
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠ACP =90°，
∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；
当CP为AB的高线时，,
即，解得,
故D选项正确，C选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．
4．如图，长方形ABCD中，，，点E为射线DC上的一个动点，与关于直线AE对称，当为直角三角形时，DE的长为

A．2或8 B．或18 C．或2 D．2或18
【答案】D
【分析】
分两种情况： 当E点在线段DC上时， 当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．
【解析】
解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
≌，
，

，
，
、、E三点共线，
，
，
，
；
②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，

，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
综上所知，或18，
故选：D．
【点睛】
本题考查翻折的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、掌握翻折的性质、分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
5．如图，在平行四边形中，于为的中点，则的大小是(　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过F作AB的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC＝2EG＝2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG＝∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的度数，由此得解．
【解析】
解：过F作FG∥AB交BC于G，连接EG，

∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴FG∥AB∥CD，
∵FG∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AF＝BG，
又∵F为AD中点
∴G是BC的中点；
∵BC＝2AB，F为AD的中点，
∴BG＝AB＝FG＝AF，
∵在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
∴BG＝GE＝FG＝BC；
∴∠BEG＝∠B＝72°，
∴∠AEG＝∠AEF＋∠FEG＝180°﹣∠BEG＝108°，
∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF，
∵GE＝FG，
∴∠EFG＝∠FEG，
∴∠AEF＝∠FEG＝∠AEG＝54°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出辅助线是解决问题的关键．
6．如图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3．若，则图3中度数是（ ）

A．120° B．140° C．160° D．100°
【答案】A
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CFE=180°－∠DEF，然后得出图2中∠CFE的大小，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠DEF，得出图2中∠BFC，再根据翻折的性质得出∠BFC.
【解析】
∵矩形对边AD∥BC
∴图1中，∠CFE=180°－∠DEF=160°，∠BFE=∠DEF=20°
∴图2中，∠BFC=160°－20°=140°
在图3中，由翻折知：∠CFE+∠BFE=∠BFC
∴图3中，∠CFE=140°－20°=120°
故选：A
【点睛】
本题考查对折的性质和平行的性质，需要注意，题干中告知长方形纸袋，实际是隐含告知对边平行.
7．如图，把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 再过点折叠纸片，使点格在上的点处，折痕为若长为则的长为(（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据翻转变换的性质求出BM、BF，根据勾股定理计算求出FM的值；再在Rt△NEF中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN的长．
【解析】
∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，BM=BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°，
则在Rt△BMF中，
，
∴，
设AE=FE=，则EN=，
∵Rt△EFN中，，
∴，
解得：，
∴EN=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
8．如图，在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在上，连接，，交于点，连接，若平分，则下列结论：
①；
②；
③；
④，其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
如图，作BM⊥EC于M．证明△BEA≌△BEM（AAS），△BMH≌△GCH（AAS），利用全等三角形的性质即可一一判断．
【解析】
解：如图，作BM⊥EC于M．

∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠MEB，
∵∠A=∠BME=90°，BE=BE，
∴△BEA≌△BEM（AAS），
∴AE=EM，AB=BM．
∵∠BMH=∠GCH=90°，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，
∴△BMH≌△GCH（AAS），
∴MH=CH，BH=HG，
∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③正确，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴2∠AEB+2∠ABE=180°，
∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC=2∠AEB，
∴∠DEC+2∠AEB=180°，
∴∠DEC=2∠ABE，故②正确，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=45°，
∵∠FEH=90°，
∴AB=EF=EH，
∵EH＞HM=CH，
∴CH＜AB，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查性质的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点F是边CD上一点，连接ED，EF，ED平分∠AEF，过点D作DG⊥EF于点M，交BC于点G，连接GE，GF，若FG∥DE，则 的值是(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意得△AED≌△MED、△BEG≌△MEG、△MGF≌△CGF，设CG=x，用含x的式子表示AD =2x，，即可得出
【解析】
∵ED平分∠AEF
∴∠AED=∠DEM
在矩形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=90°
∵DG⊥EF
∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90°
∴∠A=∠DME=90°
∵DE=DE
∴△AED≌△MED
∴ME=AE
∵点E是矩形ABCD的边AB的中点
∴AE=BE
∴ME=BE
∵∠EMC=∠B=90°， EG=EG
∴Rt△BEG≌Rt△MEG
∵AD∥BC
∴∠ADG=∠CGD
∵ED∥GF
∴∠EDM=∠FGM
∴∠ADE=∠CGF
∴∠CGF=∠FGM
∴△MGF≌△CGF
∴MG=CG=BG
设CG=x
∴BC=2x
∴AD=DM=2x
∴DG=3x
根据勾股定理可得

∴
∴
故选：C
【点睛】
本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
10．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（ ）

A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【分析】
先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．
【解析】
解：连接AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，

∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴S△ABC=BC•AP＝AB•AC，
∴×10AP＝×6×8，
∴AP最短时，AP=，
∴当AM最短时，AM=AP=．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
11．如图，在矩形中，，在上取一点，连接、，将沿翻折，使点落在处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上，若点恰好为的中点，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设F长为
根据图形沿着某条边折叠所得的两个图形全等，即可推出全等三角形对应的边和角相等，利用得出的结论，再推出，F即是AD的中点，已知AB=1
再根据边之间的长度关系列出等式
∴
得

【解析】
设F长为
∵沿翻折，点落在处，沿翻折，使点的对应点落在线段上
∴A=AB=CD=D，

由全等三角形判定定理AAS可得
∴F=，
∵点为的中点
∴
得

故选：D
【点睛】
本题考查图形折叠问题，作为求解的已知条件，轻松证得两个三角形全等，得线段之间的长度关系，即可列出等式，求得答案.
12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF的值为(　　)

A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
【答案】D
【分析】
连接OP,由矩形ABCD的可求OA=OD= ，最后由S△AOD=S△AOP+S△DOP即可解答.
【解析】
解：如图：连接OP
∵矩形ABCD，AB＝3，BC＝4
∴S矩形ABCD=AB×BC=12, OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴S△AOD=S矩形ABCD=3，OA=OD=
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=
∴PE+PF=2.4
故答案为D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，当点D与点D′关于AE对称时，DE的长为_____．

【答案】或
【分析】
连接ED′，AD′，延长MD′交DC于点P．根据题意设MD′＝ND′＝BM＝x，则AM＝AB-BM＝7-x， AD＝AD′＝5，在中，利用勾股定理可求出x=3或4，即MD′的长，分类讨论①当MD′=3时，设ED′＝a，则AM＝7-3＝4，D′P＝5-3＝2，EP＝4-a，在Rt△EPD′中利用勾股定理可求出a的值，即DE的长；②当MD′=4时，同理即可求出DE的长．
【解析】
解：如图，连接ED′，AD′，延长MD′交DC于点P，

∵正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，点D与点D′关于AE对称，
∴设MD′＝ND′＝BM＝x，
∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，
∵AE为对称轴，
∴AD＝AD′＝5，
在中，，即，
解得，
即MD′＝3或4．
在Rt△EPD′中，设ED′＝a，
①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′P＝5﹣3＝2，EP＝4﹣a，
∴，即，
解得a＝，即DE＝．
②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′P＝5﹣4＝1，EP＝3﹣a，
同理， ，
解得a＝，即DE＝．
综上所述：DE的长为：或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查图形对称的性质，矩形的性质以及勾股定理．根据对称并利用勾股定理求出MD′的长度是解答本题的关键．
14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是斜边AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE，连接BE，DE，点O是DE 的中点，连接OB、OC，下列结论：①△ADC≌△BEC；②OB=OC；③DEBC；④AO的最小值为2．其中正确的是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）

【答案】①②
【分析】
先证明∠ACD=∠BCE，根据三角形全等判定定理SAS可证明△ADC≌△BEC；根据三角形全等性质可得∠EBC=∠A=45°，于是∠EBD=90°，然后根据直角三角形斜边中线性质可证得OB=OC；利用三角形三边关系可得；根据OB=OC可知点O在BC的垂直平分线上，找到点O的起始位置及终点位置，即可求出OA的最小值．
【解析】
解：∵∠ACB=90°，∠DCE=90°
∴∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB
即∠ACD=∠BCE
∵CE是由CD旋转得到．
∴CE=CD
则在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
故①正确；
∴∠EBC=∠A=45°，
∴∠EBD=90°，
∵点O是DE 的中点，
∴
∴OB=OC；
故②正确；
∴，
故③错误；
如图2，∵CA=CB=4，∠ACB=90°，∴AB=，

当D与A重合时，△CDE与△CAB重合，O是AB的中点P；当D与B重合时，△CDE与△CBM重合，O是BM的中点Q；
前面已证OB=OC，所以点O在BC的垂直平分线上，
∴当D在AB边上运动时，O在线段PQ上运动，
∴当O与P重合时，AO的值最小为，
故④错误；
故答案是：①②．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形斜边中线性质，垂直平分线的判定定理，本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理以及性质．难点是判断点O的运动路线．
15．如图，在四边形中，，平分，过点作交于点，于点若，则的长为________．

【答案】3
【分析】
过点A作AM⊥CB，交CB延长线于点M，根据题意可知，∠ABM=30°，可求AM=3，再利用平行四边形的性质，求出EF．
【解析】
解：过点A作AM⊥CB，交CB延长线于点M，
∵，
∴∠ABM=30°，
∴AM=AB=×6=3，
∵AM⊥CB，，
∴AM∥EF，
∵，
∴四边形AMFE是平行四边形，
∵AM⊥CB，
∴四边形AMFE是矩形，
∴EF=AM=3，
故答案为：3．
．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．
16．在长方形ABCD中，，，，CF平分，则_________．

【答案】
【分析】
延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，由题意易得FH=FD，FH=EM，EC=EG，进而可得△CDF≌△CME，然后可得CM=CD=，由勾股定理可得BG=3，设BE=x，则有EC=EG=3+x，最后利用勾股定理可求解．
【解析】
解：延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，，
∴BC=AD，，AB∥DC，∠D=∠ABC=∠CBE=90°
∴∠DCF=∠G，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF=∠ECF，DF=FH，
∴∠G=∠ECF，
∴EC=EG，
∴△ECG是等腰三角形，
∴CM=MG，
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰三角形，
∵EM、FH分别是等腰三角形ECF腰上的高线，
∴FH=EM=DF，
∴Rt△CDF≌Rt△CME（HL），
∴，
∴CG=5，
∴在Rt△CBG中，，
设BE=x，则有EC=EG=3+x，
在Rt△CBE中，，
∴，
解得：，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
17．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____．

【答案】或或1
【分析】
利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【解析】
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，
∴BP=，
在直角三角形ABP中，
AP=；
当∠APB=90°时，分两种情况，
情况一，（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴BP=OB=1，
∵AB=BC=2，
∴AP=；
情况二，如图3，
∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=1，
故答案为：或或1．
．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
18．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处，则的长为__________．

【答案】
【分析】
由30°直角三角形易得BE、AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可．
【解析】
解：和对折






又
是等边三角形，


故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．如图，在矩形中，分别过点作对角线的垂线段，垂足分别是连接．

（1）求证：．
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由矩形，可得证明由全等三角形的对应高相等可得再证明从而可得结论；
（2）利用矩形的性质先求解 再利用勾股定理求解 可得的长度，再利用全等三角形的性质可得 再利用，从而可得答案．
【解析】
证明：（1） 矩形，






（2） 矩形，










【点睛】
本题考查的全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
20．如图，在四边形中，分别是的中点，

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）连接BM，DM，根据斜边中线定理得到，，得到△BMD是等腰三角形，再根据三线合一的性质可得结果；
（2）结合（1）证明△BMD是等边三角形，结合AC可得BD．
【解析】
解：（1）连接BM，DM，

∵，
∴△ABC与△ADC是直角三角形，
∵M是AC的中点，
∴BM是△ABC的中线，DM是△ADC的中线，
∴，，
∴BM=DM，
∴△BMD是等腰三角形，
∵N是BD的中点，
∴MN是等腰△BMD底边上的中线，
∴MN⊥BD；
（2）在Rt△ABC中，
，
∴∠BAC=∠ABM，
∴∠BMC=∠BAC+∠ABM=∠BAC+∠BAC=2∠BAC，
在Rt△ADC中，
，
∴∠DAC=∠ADM，
∴∠DMC=∠DAC+∠ADM=∠DAC+∠DAC=2∠DAC，
∵，
∴，
∴∠BMD=∠BMC+∠DMC=2∠BAC+2∠DAC=2（∠BAC+∠DAC）=60°，
由（1）知：BM=DM，
∴△BMD是等边三角形，
∴BD=BM=DM=5，
故BD的长为5．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是合理添加辅助线，为利用相应定理构造前提条件．
21．如图，在中，，，为的中点．

（1）写出点到的三个顶点，，的距离的关系（不要求证明）；
（2）如果点，分别在线段，上移动，在移动过程中保持，请判断的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）等腰直角三角形，见解析
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上中线性质推出即可；
（2）根据等腰三角形性质求出∠B＝∠C＝45°＝∠BAO＝∠CAO，根据SAS证△BOM≌△AON，推出OM＝ON，∠AON＝∠BOM，求出∠MON＝90°，根据等腰直角三角形的判定推出即可．
【解析】
解：（1）点到的三个顶点，，的距离的关系是．
（2）的形状是等腰直角三角形．
证明如下：
在中，，，为的中点，
，平分，，
，，，
．
在和中，
，，，
，
，．
，
，即，
是等腰直角三形．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上中线，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，考查了学生运用定理进行推理的能力．
22．如图，在ABC中，D是AB的中点，AC＝2，BC＝2，AB＝2，延长AC到E，使得CE＝CD，连接BE．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）求线段BE的长度．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理判定AC⊥BC；
（2）在直角△BCE中，利用勾股定理来求BE的长度．
【解析】
证明：（1）∵在△ABC中，AC＝2，BC＝2，AB＝2，
∴AC2＝4，BC2＝8，AB2＝12，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴∠ACB＝90°；
（2）由（1）知，∠ACB＝90°，则∠BCE＝90°．
∵D是AB的中点，AB＝2，CE＝CD，
∴CE＝CD＝AB＝．
∴在直角△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝．

【点睛】
本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
23．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，、是如图所示小长方形的顶点，请在大长方形中按下列要求完成画图：

（1）请你仅用无刻度直尺在图1中画一个等腰，其中；
（2）请你仅用无刻度直尺在图2作出线段的垂直平分线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）如图1所示，取点C，连接AC、BC，然后找出图中全等的三角形，依据全等三角形的性质可证明AB=BC，最后再结合全等三角形的性质和直角三角形的性质即可证明；
（2）先确定出AB的中点D，然后再确定出AC的中点E，依据直角三角形斜边上中线的性质可得到AE=BE，则DE为AB的垂直平分线．
【解析】
解：如图：（1）三角形ABC即为所求；
（2）直线DE即为所求．

【点睛】
本题考查了尺规作图，熟练掌握矩形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定方法是解题的关键．
24．在四边形中，，．

（1）P为边上一点，如图，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）
①当点E落在边上时，利用尺规作图，作出满足条件的图形，并直接写出此时_________；
②若点P为边的中点，连接，则与有何位置关系？请说明理由；
（2）点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．
【答案】（1）①6，画图见解析；②EC∥PA，理由见解析；（2）BQ=10
【分析】
（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P，根据勾股定理可得DE；②如图2中，结论：EC∥PA．只要证明PA⊥BE，EC⊥BE即可解决问题；
（2）分两种情形：①如图3−1中，当点Q在线段CD上时，②如图3−2中，当点Q在线段DC的延长线上时，分别求解即可解决问题．
【解析】
解：（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P．

在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AE＝AB＝10，AD＝8，
∴DE＝=＝6，
故答案为6．
②如图2中，结论：EC∥PA．

理由：由翻折不变性可知：AE＝AB，PE＝PB，
∴PA垂直平分线段BE，
即PA⊥BE，
∵PB＝PC＝PE，
∴∠BEC＝90°，
∴EC⊥BE，
∴EC∥PA；
（2）①如图3−1中，当点Q在线段CD上时，设DQ＝QD′＝x．

在Rt△AD′B中，∵AD′＝AD＝8，AB＝10，∠AD′B＝90°，
∴BD′＝，
在Rt△BQC中，∵CQ2＋BC2＝BQ2，
∴（10−x）2＋82＝（x＋6）2，
∴x＝4，
∴QD′＝4，
∴BQ= QD′+ BD′=4+6=10；
②如图3−2中，当点Q在线段DC的延长线上时，

∵DQ∥AB，
∴∠DQA＝∠QAB，
∵∠DQA＝∠AQB，
∴∠QAB＝∠AQB，
∴BQ＝AB =10，
综上所述，BQ=10．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用未知数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．