专题18.3 平行四边形的判定（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

这是一份专题18.3 平行四边形的判定（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案，共9页。学案主要包含了知识回顾，学习目标，要点梳理，典型例题，总结升华，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
专题18.3  平行四边形的判定（知识讲解）【知识回顾】1、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.2、平行四边形的性质    1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；【学习目标】1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的判定定理；2．能初步运用平行四边形的判定进行推理和计算，特别是利用判定定理来证明一个四边形为平行四边形；3. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．4. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.（3）以上判定方法从边、角、对角线上进行识记。要点二、三角形的中位线1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图，在▱ABCD中，O是BD的中点，E、F分别是BC、AD的中点，M、N分别是OB、OD中点．求证：四边形MENF是平行四边形．【分析】证△DNF≌△BME（SAS），得FN＝EM，∠DNF＝∠BME，则∠FNM＝∠EMN，证出FN∥EM，即可得出四边形MENF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠FDN＝∠EBM，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴DF＝BE，∵O是BD的中点，∴OD＝OB，∵M、N分别是OB、OD中点，∴DN＝BM，在△DNF和△BME中，，∴△DNF≌△BME（SAS），∴FN＝EM，∠DNF＝∠BME，∴∠FNM＝∠EMN，∴FN∥EM，∴四边形MENF是平行四边形．【总结升华】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知是等边三角形，点D在BC边上，是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF，求证：（1）；（2）四边形BCEF是平行四边形．（1）证明 ：∵和都是等边三角形，∴，，即，在和中，，∴；（2）证明 ：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴四边形BCEF是平行四边形．【变式2】如图，▱ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且BE＝DF，顺次连接A，E，C，F，A．求证：四边形AECF是平行四边形，并写出最后一步推理的依据．             证明：如图，连接AC交BD于点O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确的作出辅助线是解题的关键． 类型二、三角形中位线 2、如图，等边三角形的边长是2，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，，．（1）求证：；（2）求的长．【分析】（1）根据三角形中位线的性质解得，结合已知条件即可解题；（2）由等边三角形三线合一的性质，可得，在中，由勾股定理解得，继而由（1）中结论，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的对应边相等解题即可．解：（1）在等边三角形中，，分别为，的中点，，；（2）在等边三角形中，为的中点，在中，四边形是平行四边形，．【思路点拨】本题考查三角形中位线的性质、等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．举一反三：【变式】如图，为的中线，为的中线．（1），，求 的度数；（2）若的面积为40，，则到边的距离为多少．【答案】（1）；（2）4．解：（1）是的外角，；（2）过作边的垂线，为垂足，则为所求的到边的距离，过作边的垂线，为的中线，，，的面积为40，，即，解得，∵为的中线，∴，又∵为的中线，∴，则有：．即到边的距离为4．【点拨】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．类型三、平行四边形综合训练3．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF． （1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．【分析】（1）证明EF、BD互相平分，只要证DEBF是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明；（2）过D点作DG⊥AB于点G，通过已知可证△ADE是等边三角形，所以CE=2，DE=4，由勾股定理可求DG，继而可求得BD．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，∴AE=AD，CF=CB，∴AE=CF，∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BD、EF互相平分；（2）如图，过D点作DG⊥AB于点G，
 ∵∠A=，AE=AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD=4，∴DE=AE=4，∵AE=2EB，∴BE=2，在Rt△ADG中，AD=4，∠A=，∴，∴DG=， ∴．【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．举一反三：【变式】如图，将的边延长至点E，使得，连结，F是边的中点，连结．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，，求的长．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE＝FC，DE∥FC，进而得出答案；（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而得出答案．（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴．∵是的中点，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形； （2）解：过点D作DN⊥BC于点N，如图：则∠DNC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，∴CD=AB=3，BC=AD=4，∠BCD=∠A=60°，∠CDN=30°，∵F是BC边的中点，∴FC=BC=2，NC=DC=，DN==，∴FN=FC-NC=，∴DF=EC==．【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．