专题18.4 平行四边形的判定（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题18.4 平行四边形的判定（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题18.4 平行四边形的判定（专项练习）
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）

A．AB＝CD B．∠BAD＝∠DCB C．AC＝BD D．∠ABC＋∠BAD＝180°
2．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，BC=10，则EF长为（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3．如图，已知四边形中，R、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）

A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．以上说法都不对
4．下列说法，属于平行四边形判定方法的有（ ）．
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角线互相平分；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
④平行四边形的每组对边平行且相等；
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
5．如图所示，在四边形中，，分别是，的中点．若，，，则点到的距离等于（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的一个动点，点Q是边BC上的一个定点，连接PA和PQ，点E和F分别是PA和PQ的中点，则随着点P的运动，线段EF的长（ ）

A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．先变小再变大 D．始终不变
7．如图，AD和BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，垂足为点F，且G、E为AC的三等分点，若BE＝4，则BF的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点，且BF＝DE，∠AEB＝120°， ∠ADB＝30°，则∠BCF等于（ ）

A．60° B．90° C．120° D．150°
9．如图，将沿直线向右平移后到达的位置，连接、，若的面积为10，则四边形的面积为（ ）

A．15 B．18 C．20 D．24
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．若AC＝4，AB＝6，则四边形ADCF的面积为（ ）

A．12 B．24 C．6 D．12

二、填空题
11．如图，在四边形中，是边中点，连接并延长，交的延长线于，，添加一个条件，使四边形是平行四边形，你添加的条件是_______．

12．如图，在△ABC中，BC=2，点，分别是AB，AC边的中点（如图1），点， 分别是，边的中点（如图2），点，分别是，边的中点（如图3）……按这样的规律下去,的长为___________．

13．如图，在ABC中，AB=AC，，延长AC到点D，连接BD，取BD的中点N，连接MN．若AB=3，AD=5，则MN=_______________．

14．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是：___________

15．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，，，点，，分别为，，的中点，连接，，．当，，时，则的长为_______．

16．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是______．

17．如图，在平行四边形纸片ABCD中，，将纸片沿对角线AC对折至CF，交AD边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是________．

18．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线， CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为_________．

19．如图所示，在四边形ABCD中，，，，交BC于点，若，BC=，则_______cm．

20．如图，己知中，点M是BC的中点，线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6，则该平行四 边形的面积为____．


21．如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，__________．

22．如图，在▱ABCD中，分别设P，Q，E，F为边AB，BC，AD，CD的中点，设T为线段EF的三等分点，则△PQT与▱ABCD的面积之比是______．

23．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是_____．

24．用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，作出它的对角线的交点O，我们可以做如下操作：
用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置. 如果设细木条与一组对边AB，CD的交点分别为点E，F，则下列结论：①OE=OF；②AE=CF；③BE=DF；④△AOE≌△COF，其中一定成立的是_________________________（填写序号即可）.


三、解答题
25．下面是小明设计的“作平行四边形的边的中点”的尺规作图过程．
已知：平行四边形 ．
求作：点，使点为边的中点．
作法： ①作射线；
②以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③连接交于点．所以点就是所求作的点．
根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
完成下面的证明． 证明：连接．
四边形是平行四边形，

______，
四边形是平行四边形(______)(填推理的依据)．
(______)(填推理的依据)．
点为所求作的边的中点．




26．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连结PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）
（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值
（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．


参考答案
1．B
【分析】
根据平行四边形的判定方法，以及等腰梯形的性质等知识，对各选项进行判断即可．
【详解】
A错误,当四边形是等腰梯形时,也满足条件．
B正确，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
C错误，当四边形是等腰梯形时，也满足条件．
D错误，∵，
∴，与题目条件重复，无法判断四边形是不是平行四边形．
故选:B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等腰梯形的性质等知识，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质可得，由角平分线可得，所以，所以，同理可得，则根据即可求解．
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
故选：．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线＋平行线＝等腰三角形”转化线段．
3．C
【分析】
连接AR，E、F分别是、的中点，AR不变，根据中位线定理可得，据此解题．
【详解】
连接AR，如图，

因为AR不变，
E、F分别是、的中点，
由中位线的性质得，

当点P在上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变
故选：C．
【点拨】本题考查三角形中位线定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．C
【分析】
根据平行四边形的判定方法分析即可；
【详解】
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故①正确；
平行四边形的对角线互相平分，是平行四边形的性质，故②错误；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故③正确；
平行四边形的每组对边平行且相等，是平行四边形的性质，故④错误；
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤正确；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故⑥正确；
故正确的是①③⑤⑥；
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析判断是解题的关键．
5．C
【分析】
连接BD，根据中位线的性质得出EF∥BD，且EF=BD，进而利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，利用等面积法即可求解．
解：连接BD，

∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD，且EF=BD，
∵EF=4，
∴BD=8，
∵BD=8，BC=10，CD=6，
∴82+62=102，即BD2+CD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
设点D到BC的距离为h，
∴，
∴6×8=10h，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中位线性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积的应用，能证明△BDC是直角三角形是解此题的关键．
6．D
【分析】
连接AQ，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
连接AQ，

∵点Q是边BC上的定点，
∴AQ的大小不变，
∵E，F分别是AP，PQ的中点，
∴EFAQ，
∴线段EF的长度保持不变，
故选：D．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
7．B
【分析】根据三角形中位线定理得到DG＝BE＝2，DG∥BE，证明△DBF≌△ABF，根据全等三角形的性质得到AF＝FD，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
∵CD＝DB，CG＝GE，
∴DG是△CEB的中位线，
∴DGBE＝2，DG∥BE，
在△DBF和△ABF中，，
∴△DBF≌△ABF（SAS）
∴AF＝FD，
∵DG∥BE，AF＝FD，
∴FEDG＝1，
∴BF＝BE﹣EF＝3，
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．B
【分析】
由利用三角形的外角的性质求解，再证明四边形是平行四边形，可得证明利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】
解：


四边形是平行四边形，




．
故选．
【点拨】本题考查的是三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．A
【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定条件可得四边形BDEC是平行四边形，得到四边形BDEC的面积为△ABC面积的2倍，即可求得四边形的面积．
解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AB＝BD，BC∥DE且BC=DE，
∴四边形BDEC是平行四边形，
∵平行四边形BDEC和△ABC等底等高，
∴，
∴S四边形ACED=
故选：A．
【点拨】本题考查了平移的性质和平行四边形的判定，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
10．D
【分析】
根据是的中点，是的中点，可以得到是的中位线，所以,而，所以可以得到四边形是平行四边形，过作，直接利用平行四边形的面积公式求解即可；
【详解】
是的中点，是的中点
是的中位线


四边形是平行四边形
过作
在中，，
由勾股定理可得：

是的中点

平行四边形的面积为：
故选：D.

【点拨】本题主要考查三角形中位线的判别，平行四边形的判定以及勾股定理的应用，熟练掌握相关定理是求解本题的关键.
11．（答案不唯一）
【分析】
添加条件：，证明可得 从而可得： 从而可得四边形是平行四边形．
解：添加的是： 理由如下：
是边中点，








四边形是平行四边形．
故答案为：
【点拨】本题考查的是平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形的平行四边形是解题的关键．
12．
【分析】
根据中位线的定理得出规律解答即可．
解：在△ABC中，BC＝2，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，
可得：P1M1＝1，P2M2＝1×＝，
故PnMn＝，
故==，
故答案为：．
【点拨】此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．
13．1
【分析】由题意易得BM=MC，则有MN∥CD，，进而可求解．
解： AB=AC，，
BM=MC，
BN=ND，
MN∥CD，，
AB=3，AD=5，
CD=2，
MN=1；
故答案为1．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．
14．AD=BC(答案不唯一)
【分析】根据证平行四边形的条件可知，还需补充一个条件即可．
【详解】
∵AB=CD，
∴补充一个条件：AD=BC
则两组对边平行，可得四边形是平行四边形
故答案为：AD=BC．
【点拨】本题考查添加一个条件使得四边形是平行四边形，可以从边、角、对角线三方面入手添加．
15．
【分析】先判定四边形EFMN是平行四边形，即可得到∠AEB=∠NMF=45°，进而得出是等腰直角三角形，再证明，根据全等三角形的性质以及勾股定理，即可得到AB的长，进而得出BE的长．
解：∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，
∴MF，MN都是的中位线，
∴MF∥AE，MN∥BE，
∴四边形EFMN是平行四边形，
∴∠AEB=∠NMF=45°，
又∵AB⊥AE，
∴∠ABE=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴AB=AE，
∵BC⊥CD，DE⊥CD，
又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EAD+∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠EAD，
∵∠C=∠D=90°，
∴（AAS），
∴BC=AD=4，CA=DE=5，
∴中，，
∴等腰中，
故答案为：
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的综合运用，三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
16．
【分析】根据中位线定理推出PE=AD，PF=BC，由此得到PE=PF，推出△PEF是等腰三角形，根据三角形的内角和定理求出答案．
【详解】∵点是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴PE=AD，PF=BC，
∵，
∴PE=PF，
∴△PEF是等腰三角形，
∴∠PFE=，
∴=，
故答案为：．
【点拨】此题考查三角形的中位线定义及定理，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键．
17．
【分析】为等边三角形，点A为BF的中点，可得，求得，再证明出点E为AD的中点，得到，可求出面积．
解：折叠至处，
AB=AF=2cm，BC=BF=CF=4cm，
为等边三角形，
，，
又四边形ABCD为平行四边形，
，
，
cm，CD=AB=2cm，
=，
点A为BF的中点，，
AE为的中位线，
，
点E为AD的中点，
==为折叠重合部分的面积，
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键．
18．2.5
【分析】延长CF交AB于H，证明△AFH≌△AFC，根据全等三角形的性质得到AH=AC=7，CF=FH，求出HB，根据三角形中位线定理计算即可．
解：延长CF交AB于H，

∵AE平分∠BAC，
∴∠HAF=∠CAF,
在△AFH和△AFC中，
，
∴△AFH≌△AFC（ASA），
∴AH=AC，CF=FH，
∵AB=13，AC=8，
∴AH=AC=8，
∴HB=AB-AH=13-8=5，
∵CF=FH，CD=DB，
∴DF=HB=2.5，
故答案为：2.5．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
19．12cm
【分析】先说明四边形ABED是平行四边形可得BE=AD=5，再由可得∠DEC=∠B=70°，求出EC的长；然后再说明△CDE是等腰三角形得到DC=EC即可解答．
解：∵，
∴四边形ABED是平行四边形
∴BE=AD=5
∴EC=BC-BE=17cm-5cm=12cm
∵
∴∠DEC=∠B=70°
∵
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=70°
∴∠EDC=∠DEC
∴CD=CE=12cm．
故答案为12cm．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
20．12
【分析】由题意连接MD,根据三角形同底同高可得，再利用平行四边形的性质得出
，进而运用面积的比例进行分析计算即可求得平行四边形的面积．
【详解】
解：由题意连接MD,


∵点M是BC的中点，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6，
∴S四边形ABMD=,
∵S四边形ABMD=,
∴,
∴．
故答案为：12．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握三角形同底同高其面积相等以及平行四边形的对角线平分平行四边形的面积是解题的关键．
21．或.
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题
【详解】
①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
22．1：4
【分析】如图，连接AC、PE、QF．设平行四边形ABCD的面积为8S,证明四边形EFQP是平行四边形，求出S平行四边形EFQP＝4S和S△TPQ＝2S即可解决问题.
【详解】
解：如图，连接AC、PE、QF．设平行四边形ABCD的面积为8S．

∵DE＝AE，DF＝FC，
∴EF∥AC，EF：AC＝1：2，
∴S△DEF＝S△DAC＝×4S＝S，
同理可证PQ∥AC，PQ：AC＝1：2，S△CFQ＝S△PQB＝S△APE＝S，
∴四边形EFQP是平行四边形，
∴S平行四边形EFQP＝4S，
∴S△TPQ＝S平行四边形EFQP＝2S，
∴S△TPQ：S平行四边形ABCD＝2S：8S＝1：4，
故答案为1：4．
【点拨】本题考查的是平行四边形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题的关键.
23．①②④．
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴2∠BAF＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BAF＝2∠C故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故答案为：①②④．

【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
24．①②③④．
【分析】①④由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥DC，OA=OC，继而证得△AOE≌△COF（ASA），则可证①、④结论成立；②由△AOE≌△COF可得结论成立；③根据平行四边形的性质和②可得结论成立．
【详解】
解：如图，直细木条所在直线与AB,CE分别交于点E,F.

①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，OA=OC，
∴∠BAO=∠DCO，
在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF；
故①和④结论成立；
②由①知：△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
故②结论成立；
③∵四边形ABFE为平行四边形；
∴AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
故③结论成立．
则一定成立的是：①②③④；
故答案为①②③④．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF是解此题的关键．
25．见解析；BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分
【分析】
（1）根据要求画出图形即可．
（2）连接AC，EB，证明四边形ACBE是平行四边形即可解决问题．
解：使用直尺和圆规，补全图形如图所示．

证明:连接
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
(平行四边形的对角线互相平分)
点为所求作的边的中点．
【点拨】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．（1）BQ＝5﹣t;（2）秒;（3）t＝.
【分析】
（1）利用平行四边形的性质可证△APO≌△CQO，则AP＝CQ，再利用即可得出答案；
（2）由平行四边形性质可知AP∥BQ，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，建立一个关于t的方程，解方程即可求出t的值；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长度，进而求出AO的长度，然后利用的面积求出EF的长度，进而求出OE的长度，而AE可以用含t的代数式表示出来，最后在中利用勾股定理即可求值.
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠PAO＝∠QCO，
∵∠AOP＝∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝t，
∵BC＝5，
∴BQ＝BC-CQ=5﹣t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t＝5﹣t，
t＝ ，
∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）t＝ ，
如图，

在Rt△ABC中，
∵AB＝3，BC＝5，
∴AC=
∴AO＝CO＝AC＝2，


∴3×4＝5×EF，
∴，
∴，
∵OE是AP的垂直平分线，
∴AE＝AP＝t，∠AEO＝90°，
由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，

或（舍去）
∴当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及动点问题，掌握平行四边形的判定及性质，以及勾股定理是解题的关键.