初中18.1.2 平行四边形的判定学案

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18.1.2 平行四边形的判定（知识讲解）【学习目标】1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的判定定理；2．能初步运用平行四边形的判定进行推理和计算，特别是利用判定定理来证明一个四边形为平行四边形；4. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．【要点梳理】平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.（3）以上判定方法从边、角、对角线上进行识记。【典型例题】类型一、判断能否构成平行四边形1．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为__________时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．【答案】2或4【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm，则CF=BC-BF=（8-3t）cm，∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=8-3t，解得：t=2；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm，则CF=BF-BC=（3t-8）cm，∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=3t-8，解得：t=4；综上可得：当t=2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．【点拨】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．举一反三：【变式】在四边形中，对角线相交于点，给出下列条件：①，；②，；③，；④，．其中能够判定是平行四边形的有______．【答案】①③④【分析】根据平行四边形的判定方法判断即可．解：如图，①，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故①正确；②，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故②错误；③，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故③正确；④，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④正确；故答案为：①③④【点拨】本题考察平四边形形的判定定理，正确掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．类型二、添加一个条件构成平行四边形2．如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是______．（答案不唯一，添加一个即可）．
【答案】FC=AE【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，CD∥AB，CD=AB，因此只需要证明DF=EB即可判断四边形EBFD是平行四边形，由此求解即可．解：添加条件FC=AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD=AB∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形EBFD是平行四边形，故答案为：FC=AE．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质与判定条件．举一反三：【变式】如图，在 中，对角线AC、BD相交于点O，已知点E、F分别是BD上的点，请你添加一个条件_______________ ，使得四边形AFCE是一个平行四边形．【答案】DE=BF【分析】根据平行四边形的判定，可加一条件，答案不唯一．解：使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，可添加条件DE=BF，
   ∵AD∥BC，
  ∴∠EDA=∠FBC，
  ∵AD=BC，DE=BF，
  ∴△ADE≌△CBF，
  ∴AE=FC，
  同理，△ABF≌△CED，
  ∴CE=AF，
  ∴四边形AECF是平行四边形．
  故答案为：DE=BF．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过证△ADE≌△CBF和△ABF≌△CED，得到AE=FC和CE=AF，再利用两组对边分别相等来判定平行四边形．类型三、数平行四边形的个数3．如图，△ABC,△ACE,△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有哪些________．【答案】平行四边形ABCE，平行四边形ACDE解：∵∠B=60°，∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+60°=120°，∴AE∥BD，∵AE=BC=CD，∴四边形AECB，AEDC是平行四边形．故答案为:ABCE，ACDE．点拨：本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．举一反三：【变式】如图，在□ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点的平行四边形共有________个．【答案】4解：如图：即□EFGH，□ABCD，□BEDG，□AFCH，故答案为4.类型四、求与已知三点构成平行四边形的个数 4．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，ABC的顶点都在格点上．请回答下列问题：（1）求AC的长；（2）在图中找一格点D，使得A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）利用勾股定理计算即可．（2）根据平行四边形的判定画出图形即可．解：（1）根据图形格点可得：AC＝＝．（2）如图，四边形ABCD即为所求．【点拨】本题考查勾股定理及平行四边形的判定，掌握网格图特点，正确结合勾股定理进行计算是解题关键．举一反三：【变式】在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点D的坐标．）【答案】点D的坐标为：（﹣5，﹣1）或（﹣1，5）或（3，﹣3）．【分析】根据平行四边形的判定即可得点D的坐标．解：如图，∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，∴点D的坐标为：（﹣5，﹣1）或（﹣1，5）或（3，﹣3）．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系和平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．类型五、平行四边形的证明 5．在中，，，将△ABO绕点O逆时针方向旋转90°得到．（1）则线段的长是___________，_____________．（2）连接求证四边形是平行四边形；（3）求四边形的面积？【答案】（1）6，；（2）见解析；（3）36．【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，由此可得答案；（2）根据题意可得，，再根据平行四边形的判定即可得证；（3）利用平行四边形的面积公式求解．解：（1）∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵将绕点O沿逆时针方向旋转得到，，，，∴，故答案为：6，；（2）将绕点O沿逆时针方向旋转得到，，，，，∴，，四边形是平行四边形．（3）四边形OAA1B1的面积=OA•A1O=6×6=36．
∴四边形OAA1B1的面积是36．【点拨】本题考查了旋转的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键，注意：旋转前后的两个图形全等．举一反三：【变式】如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．（1）线段OA1的长是          ，∠AOB1的度数是           ；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．【答案】（1）6,135°；（2）见详解．【分析】（1）根据OA＝AB＝6，∠OAB＝90°得到∠AOB＝45°，根据旋转的性质得到OA1=OA=6，∠BO B1＝∠AO A1＝90°，即可求出∠AO B1＝135°； （2）由旋转的性质得到∠AO A1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6，进而得到∠AO A1＝∠O A1B1，OA∥A1B1，从而得证四边形OA A1B1是平行四边形．解：（1）∵OA＝AB＝6，∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，∵△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1，∴OA1=OA=6，∠BOB1＝∠AOA1＝90°，∴∠AOB1＝∠AOB+∠BOB1＝45°+90°＝135°，故答案为：6，135°．（2）证明：∵△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1，∴∠AOA1＝90°，∠OA1B1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6，∴∠AO A1＝∠O A1B1，∴OA∥A1B1，∵A1B1＝OA，∴四边形OAA1B1是平行四边形．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、平行四边形的判定定理，灵活应用旋转的性质得到相关的线段长度与角度大小是解题的关键．类型六、利用平行四边形的性质和判定求解6．已知MN∥BF，AB∥DE，AC∥DF．（1）如图1，求证：∠ABC＝∠ADE；（2）如图2，点G是DE上一点，连接AG，若AC⊥BF，∠CAG+∠CEG＝180°，点E到AD的距离与线段AG长度之比为5：4，AD＝20，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）25【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同位角相等）得出两组角相等，然后等量代换即可得；（2）根据平行四边形的判定可得四边形ABED为平行四边形，由垂直及四边形内角和可得，点E到AD的距离为AC，根据平行四边形的等面积法即可得出，再由已知条件即可得出DE长度．解：（1）∵，，∴，，∴；（2）∵，，∴四边形ABED为平行四边形，∵，∴点E到AD的距离为AC，∵∴根据四边形内角和可得：，由平行四边形等面积法可得：，根据题意可得：，∴，∵，∴．【点拨】题目主要考查平行线的性质及平行四边形的基本性质，利用平行四边形等面积法确定线段的比是解题关键．举一反三：【变式】如图，在四边形中，，，是的中点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）24【分析】（1）根据平行线的判定定理得到AB∥CE，再推出AB=CE，即可得出结论；（2）根据勾股定理得到CD=8，求得AB=4，再根据平行四边形的面积公式即可求解．解：（1）证明：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CE，∵点E是CD的中点，∴CD=2CE，∵CD=2AB，∴AB=EC，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）∵∠ACD=90°，AC=6，AD=10，∴CD==8，∵CD=2AB，∴AB=4，∴S平行四边形ABCE=AB•AC=4×6=24．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形ABCE为平行四边形是解题的关键．类型七、利用平行四边形的性质和判定证明 7．已知：▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，M是AO的中点，N是CO的中点，求证：BM∥DN，BM=DN．
【分析】连接，根据平行四边形的性质可得AO=OC，DO=OB，由M是AO的中点，N是CO的中点，进而可得MO=ON,进而即可证明四边形是平行四边形，即可得证．解：如图，连接，
 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，DO=OB．∵M为AO的中点，N为CO的中点，即∴MO=ON．四边形是平行四边形，∴BM∥DN，BM=DN．【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．举一反三：【变式】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：BE//DF．【分析】先求出DE＝BF，再证明四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD//BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
又∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．类型八、平行四边形的性质和判定的应用 8．如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均有一棵大桃树、田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，画出图形，说明理由．【分析】连接AC、BD，分别过A、B、C、D作BD、AC的两条平行线，相交于E、F、G、H，平行四边形EFGH即为所求．解：能，如图所示，平行四边形EFGH即为所求：．理由如下：∵EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，∵EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，四边形EBDH和BFGD都是平行四边形，∵，，∴．【点拨】本题考查了平行四边形的判定定理和性质定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：【变式】如图，△ABC，△BDE都是由△CEF平移得到的图形．A，B，D三点在同一条直线上，∠F＝35°．（1）试判断CE，AD之间的数量关系，并说明理由．（2）求∠EBC的度数．【答案】（1）AD＝2EC．理由见解析；（2）∠EBC＝35°．【分析】（1）利用平移的性质解决问题即可． （2）利用平行四边形的性质求解即可．解：（1）结论：AD=2EC． 理由：由平移的性质可知，AB=EC，BD=CE， ∴AD=2CE． （2）∵BC=EF，BC∥EF， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∴∠EBC=∠F=35°．【点拨】本题主要考查平移的性质和平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握平移的性质和平行四边形的判定和性质．