专题19.3 函数的图象（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

专题19.3  函数的图象（知识讲解）

【知识回顾】

变量、常量的概念：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.

函数的定义：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.

函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.

【学习目标】

1. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.

2. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．

【要点梳理】

要点一、函数的几种表达方式：
　　变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：

　　（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.

（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.

（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.

要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.

要点二、函数的图象

对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.

【典型例题】

类型一、函数的三种表示方法

1．（2020·全国八年级课时练习）下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是（    ）

A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化

B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值

C．用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值

D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示

【答案】D

【分析】根据函数的表示方法的优缺点分析解答即可．

【详解】

A.用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化，此选项正确；

B.用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值，此选项正确；

C.用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值，此选项正确；

D.并不是任何函数关系都可以用上述三种方法来表示，此选项错误．

故选：D．

【点拨】本题考查函数的表示方法，明确三种表示方法的特点是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·全国七年级课时练习）下列说法中正确的是（    ）．

A．两个变量间的关系只能用关系式表示

B．图像不能直观地表示两个变量间的数量关系

C．图像可以直观表示出因变量随自变量的变化情况

D．以上说法都不对

【答案】C

【分析】

表示函数的方法有三种：解析法、列表法和图象法．

解：A、两个变量间的关系只能用关系式表示，还能用列表法和图象法表示，故错误；
B、图象能直观的表示两个变量间的数量关系，故错误；
C、图像可以表示出因变量随自变量的变化情况，正确；
D、C选项正确，AB选项错误，故此选项说法错误；
故选：C．

【点拨】本题考查了函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法．要熟练掌握．

类型二、函数图象的识别

2．（2020·深圳市南山区第二外国语学校（集团）七年级期中）2019年5月16日，第十五届文博会在深圳拉开帷幕，周末，小明骑共享单车从家里出发去分会馆参观，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在刚才等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往分会馆，设小明从家里出发到分会场所用的时间为x（分钟），离家的距离为y（米），且x与y的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）图中自变量是　   　．因变量是　   　．

（2）小明等待红绿灯花了　   　分钟．

（3）小明的家距离分会馆　   　米

（4）小明在　   　时间段的骑行速度最快，最快速度是　   　米/分钟．

【答案】（1）时间x；离家的距离y；（2）2；（3）1500；（4）12﹣13；240.

【分析】

（1）根据函数图象可以直接写出自变量和因变量；

（2）根据题意和函数图象可以得到小明等待红绿灯所用的时间；

（3）根据函数图象可以得到小明的家距离分会馆的路程；

（4）根据函数图象可以得到在哪个时间段内小明的速度最快，并求出此时小明的速度．

 解：（1）由图可知，图中自变量是时间x，因变量是离家距离y，

故答案为时间x，离家距离y；

（2）由图可知，小明等待红绿灯花了：10-8=2（分钟），

故答案为2；

（3）由图可得，小明的家距离分会馆1500米，

故答案为1500；

（4）由图可知，

小明在12-13时间段内速度最快，此时的速度为：（1200-960）÷1=240米/分，

故答案为12-13、240．

【点拨】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

举一反三：

【变式】（2018·山东济南市·七年级期末）如图①，直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，函数图象如图②所示，则直角梯形ABCD的面积为_____．

【答案】26．

 【分析】本题考查动点函数图象的问题，要根据图象判断出各边的边长．

解：动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A沿梯形的边运动；当运动到线段CD上时，三角形的面积的值开始固定．由图象可以看出，x为4时，面积开始不变，所以BC为4；

x为9时，面积不变结束，所以CD＝9﹣4＝5；

那么AD＝14﹣9＝5，AB＝CD+

∴直角梯形ABCD的面积为×（5+8）×4＝26．

【点拨】应根据题中所给的条件先判断出面积不变的开始与结束的点，进而判断出相应的线段的长度，再求解．

类型三、从函数图象中获取信息

3．（2020·沈阳市第一二六中学八年级期末）A、B两地相距，甲、乙两人先后从A地出发向B地行驶，甲骑摩托车匀速行驶，乙开汽车且途中速度只改变一次，如图表示的是甲、乙两人之间的距离S关于时间t的函数图象（点F的实际意义是乙开汽车到达B地），请根据图象解答下列问题：

（1）甲的速度________；

（2）乙变速之前速度为________，乙变速之后速度为________，点E的坐标________；

（3）当甲、乙两人相距时，直接写出t的值________．

【答案】（1）30km/h；（2）80km/h，55km/h，（3.9，0）；（3）或或或．

【分析】

根据图形可知C点之前，只有甲出发了；C-D段，乙出发了但是还没有改变速度；D-E-F段乙改变了速度，其中在E点乙追上了甲，F点乙到达目的地．由此

（1）根据AC段可计算出甲的速度；

（2）根据CD段可计算出乙改变速度之前的速度，D-E-F段乙改变速度并再用了2.5h到达目的地可算出乙变速后的速度，根据E点乙追上了甲，可计算出E点的坐标；

（3）分①乙出发前，②乙出发后未追上甲之前，③乙超过甲、但是未到达目的地，④乙到达目的地后四种情况即可得出t的值．

解：（1）由图可得，

甲的速度为：60÷2=30km/h，

故答案为：30km/h；

（2）设乙刚变速前的速度为akm/h，

30×2.5-35=（2.5-2）a，

解得，a=80，

设乙变速后的速度为bkm/h，

150-0.5×80=（4.5-2.5）b，

解得，b=55，

∵35÷（55-30）=1.4，

∴点E的坐标为（3.9，0），

故答案为：80km/h，55km/h，（3.9，0）；

（3）①在乙出发前，若甲、乙两人相距，

h；

②乙出发后未追上甲之前，甲、乙两人相距，

，解得h；

③乙超过甲，但是未到达目的地，甲、乙两人相距，

，解得h；

④乙到达目的地，甲、乙两人相距，

．

综上所述，t的值为或或或，

故答案为：或或或．

【点拨】本题考查通过函数图象获取信息．解答本题的关键是明确题意，结合图象找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

举一反三：

【变式】（2018·山东济南市·七年级期中）地铁一号线的列车匀速通过某隧道时，列车在隧道内的长度（米）与列车行驶时间（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：

①列车的长度为120米；

②列车的速度为30米/秒

③列车整体在隧道内的时间为25秒；

④隧道长度为750米．

其中正确的结论是______________（填正确结论的序号）．

【答案】②③

【分析】

由图像的纵坐标的含义可判断①；根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，可判断②；由段所对应的时间与段对应的时间相同，可判断③；由列车进入隧道到完全离开行驶时间为，结合列车的长度可判断④；从而可得答案．

解：由图像的纵坐标的含义可得：列车的长度是150米，故①错误；

在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；

由段所对应的时间与段对应的时间相同，

可得整个列车都在隧道内的时间是：35-5-5=25秒，故③正确；

隧道长是：35×30-150=1050-150=900米，故④错误．

故正确的是：②③．

故答案是：②③．

【点拨】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键．

类型四、动点问题的函数图象

4．（2021·北京东城区·九年级期末）如图1，在中，是边上一动点，设两点之间的距离为两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示．则线段的长为_____，线段的长为______．

【答案】       

【分析】从图2的函数图象得知，BD=的最大值为7，即BC=，同时AC=y=，再由图2中(1，)知，BD=时，AD=，作AE⊥BC于E，利用等腰三角形的性质以及勾股定理即可求解．

解：由图2的函数图象可知，BD=的最大值为7，

∴BC=，此时点C、D重合，对应AC=y=，

再由图2中(1，)知，BD=时，AD=，

如图：作AE⊥BC于E，

∵AC=AD=，BD=，BC=，

∴DE=CE=DC=(BC- BD)=3，

∴AE=，

在Rt△ABE中，∠AEB=90，AE，BE= BD + DE =，

∴AB=．

故答案为：，．

【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理的应用等知识，正确理解D点运动到何处时BD长最大以及点(1，)的意义是关键，同时也考察了学生对函数图象的观察能力．

举一反三：

【变式】（2019·山西省太原五育中学八年级月考）如图（1），在中，，D为斜边的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则的长为__．

【答案】5

【分析】根据题意可以得到BC和AC的长，由∠ACB=90°，根据勾股定理可以求得AB的长，本题得以解决．

解：由题意可知，当点P从点B运动到点C时，面积达到最大，当运动到点A时，面积变为0，由图②可知，，，

∵，

∴．

故答案为：5

【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．

【变式】（2017·陕西九年级专题练习）如图1，在四边形中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动．设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．当点运动到的中点时，的面积为___________．

【答案】5

【分析】由函数图象上的点、的实际意义可知、的长及的最大面积，从而求得、的长，再根据点运动到点时得，从而求得的长，最后根据等腰三角形的中位线定理可求得当运动到中点时，的面积．

解：由图象可知，，，

，

根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，，

，

又，

，

当点运动到中点时，，

如图，作于点，

，

为梯形的中位线，

则，

的面积，

故答案为：5．

【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，根据函数图象中三角形的面积的变化情况判断出、、的长是解题的关键．