高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：分类加法计数原理

（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

（2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

知识点2：分步乘法计数原理

（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

（2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法.

知识点3：两个计数原理的联系与区别

联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.

区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事.

②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.

二、重点题型分类研究

题型1: 利用分类加法计数原理解题

1．（2021·全国·高二课时练习）从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车.每天飞机有班，火车有班，长途汽车有班.一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的方法？

【答案】

【详解】

由题意可知，从甲地到乙地，若乘飞机，有种方法；若乘火车，有种方法；若乘长途汽车，有种方法；则从甲地到乙地共有种不同的方法.

2．（2021·浙江丽水·高二课时练习）如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点爬到相对顶点，求其中经过3条棱的路线共有多少条？

【答案】6条

【详解】

经过AB，有m1=1×2=2条；经过AD，有m2=1×2=2条；经过AA1，有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理，从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.

3．（2021·全国·高二课时练习）一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种．要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？

【答案】11种

【详解】

由题意，购买本地产品的选法有4种，购买外地产品的选法有7种，

所以购买1台这种型号的电视机，共有种不同的选法.

4．（2021·全国·高二课时练习）设集合.选择的两个非空子集和，则使中最小的数大于中最大的数的不同选择方法有多少种？

【答案】（种）

【详解】

解：当A中最大的数为1时，B可以是的非空子集，

有（种）选择方法；

当A中最大的数为2时，A可以是或，

B可以是的非空子集，有（种）选择方法；

当A中最大的数为3时，A可以是，，或，

B可以是的非空子集，有（种）选择方法；

当A中最大的数为4时，A可以是，，，，，，或，B可以是，有（种）选择方法.

所以满足条件的集合共有（种）不同的选择方法.

5．（2021·全国·高二课时练习）“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”．

【答案】1359.

【详解】

“渐升数”由小到大排列，则1在首位，2在百位的“渐升数”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)；

1在首位，3在百位，4在十位的“渐升数”有5个；

1在首位，3在百位，5在十位的“渐升数”有4个，

此时“渐升数”有21＋5＋4＝30(个)，因此按从小到大的顺序排列，

第30个“渐升数”必为1 359．

6．（2021·全国·高二课时练习）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植，两种作物，每种作物种植1垄为利于作物生长，要求，两种作物的间隔不少于6垄，有多少种不同的选垄方法？

【答案】12

【详解】

第一类：第1垄种植作物，作物种植在第8，9，10垄中的任一垄，有3种选法；

第二类：第2垄种植作物，作物种植在第9，10垄中的任一垄，有2种选法；

第三类：第3垄种植作物，作物种植在第10垄，有1种选法；

第四类：第8垄种植作物，作物种植在第1垄，有1种选法；

第五类：第9垄种植作物，作物种植在第1，2垄中的任一垄，有2种选法；

第六类：第10垄种植作物，作物种植在第1，2，3垄中的任一垄，有3种选法.

综上：由分类加法计数原理知，共有种不同的选垄方法.

题型2：利用分步乘法计数原理解题

1．（2021·全国·高二课时练习）某校“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.

（1）从中选出1人担任总干事，有多少种不同的选法？

（2）从每一个年级各选1人担任本年级的组长，有多少种不同的选法？

【答案】

（1）25；（2）560.

（1）

解：由题可知，该“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人，

从中选出1人担任总干事，则共有10+8+7=25种选法.

（2）

解：每一个年级各选1人担任本年级的组长，

则共有种.

2．（2021·全国·高二单元测试）有不同的红球个，不同的白球个.

（1）从中取出一个球，共有多少种不同的取法？

（2）从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？

【答案】

（1）（2）

（1）

解：从中取出一个红球，有种取法，

从中取出一个白球，有种取法，

由分类加法计数原理可知，从中取出一个球，共有种不同的取法.

（2）

解：从中取出一个红球，有种取法，

从中取出一个白球，有种取法，

由分布乘法计数原理可知，从中取出两个颜色不同的球，共有种不同的取法.

3．（2021·全国·高二单元测试）1.计算：

（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，共有多少种不同的投法？

（2）将2封信随意投入4个邮箱，共有多少种不同的投法？

【答案】（1）12；（2）16

【详解】

（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，第一封信有4种选择，第二封有3种选择，答案为（种）；

（2）将2封信随意投入4个邮箱，则每封信都有4种选择，所以共有（种）.

4．（2021·全国·高二课时练习）从1，2，…，19，20中任选一个数作被减数，再从1，2，…，10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？

【答案】

【详解】

第一步：从中选一个数作为被减数，有种选法；

第二步：从中选一个数作为减数，有种选法，

所以写成的减法算式共有：个，

故可得个不同的算式.

5．（2021·全国·高二课时练习）一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同．从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法

【答案】

【详解】

解：分两步进行：第一个口袋内取一个球有5种取法，另一个口袋内取一个球有6种取法；

从两个口袋内分别取1个小球，共有：种取法．

6．（2021·江苏·高二课时练习）要从甲、乙、丙幅不同的画中选出幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

【答案】6

【详解】

从幅画中选出幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：

第步，从幅画中选幅挂在左边墙上，有种选法，

第步，从剩下的幅画中选幅挂在右边墙上，有种选法，

根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是.

题型3：两个计数原理的综合应用

1．（2021·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，现给5个顶点安装彩色灯泡，要求相邻顶点的位置不得使用同一颜色，有4种不同颜色可供选择，则不同的安装方法共有（    ）

A．48种 B．72种 C．80种 D．96种

【答案】B

【详解】

若A，C使用同一颜色，则由分步计数原理可知有（种）；

若A，C不使用同一颜色，则由分步计数原理可知有（种），

由分类计数原理可得共有（种），

故选：B.

2．（2022·全国·高三专题练习）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（    ）

A．360种 B．50种 C．60种 D．90种

【答案】B

【详解】

第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，

选法有1×2×10＝20(种)，

第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，

选法有1×3×10＝30(种)，

所以共有20＋30＝50(种)选法．

故选：B.

3．（2021·全国·高二课时练习）一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么这样的三位数共有（    ）

A．240个 B．249个

C．285个 D．330个

【答案】C

【详解】

因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，

所以当十位数字是0时有9×9=81种结果，

当十位数字是1时有8×8=64种结果，

当十位数字是2时有7×7=49种结果，

当十位数字是3时有6×6=36种结果，

当十位数字是4时有5×5=25种结果，

当十位数字是5时有4×4=16种结果，

当十位数字是6时有3×3=9种结果，

当十位数字是7时有2×2=4种结果，

当十位数字是8时有1种结果，

所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1=285种结果.

故选：C

4．（2021·云南·昆明一中高三阶段练习（理））若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游， 每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有（　　）

A．16种 B．18种 C．37种 D．40种

【答案】C

【详解】

法1（直接法）：

满足题意的不同的选择方法有以下三类:

三个人中只有一个人去丽江，有(种) 选择方法；

三个人中有两个人去丽江，有(种) 选择方法；

三个人都去丽江，有种选择方法；

综上，共有(种)不同的选择方法.

法2（排除法）：

三个人去四个景点，有(种) 选择方法；

没有人去丽江，有(种) 选择方法；

综上，共有(种)不同的选择方法. 

故选：C

5．（2021·全国·高二课时练习）特种汽车牌照号码一共五个字符，但规定从左到右第二个字符只能从字母中选择，其他四个字符可以从这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个字符(从左到右)只想在数字中选择，其他字符只想在中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（   ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【详解】

根据题意，车主第一个号码在数字3､5､6､8､9中选择，共5种选法，

第二个号码只能从字母B､C､D中选择，有3种选法，

剩下的3个号码在1､3､6､9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法，

则共有5×3×64=960种，

故选：D.

题型4：选（抽）取与分配问题

1．（2021·全国·高二课时练习）甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有______种推选方法．

【答案】31

【详解】

分为三类：甲、乙两班各选1名，有种选法；

甲、丙两班各选1名，有种选法；

乙、丙两班各选1名，有种选法，

由分类加法计数原理，得共有种推选方法.

故答案为：31

2．（2021·重庆市万州沙河中学高二阶段练习）某校高一有8个班，高二有7个班，高三有6个班，学校选2个班参加社会实践，要求这2个班来自不同年级，有_____________种不同的选法．

【答案】

【详解】

两个班来自不同年级，则两个班来自高一高二或高一高三或高二高三，方法数．

故答案为：146．

3．（2021·上海师大附中高一期末）某天，一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业，晚自习上，在同一时刻3名学生都做作业的可能情形有________种（用数字作答）．

【答案】64

【详解】

一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业，

晚自习上，在同一时刻每个学生做作业的可能有4种可能，

所以在同一时刻3名学生都做作业的可能情况有种

故答案为：64

4．（2022·全国·高三专题练习）在某运动会的百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙3人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．

【答案】2880

【详解】

分两步安排这8名运动员．

第1步：安排甲、乙、丙3人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，安排方式有4×3×2＝24(种)．

第2步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．

所以安排这8人的方式有24×120＝2 880(种).

故答案为：2880

5．（2021·浙江省桐庐分水高级中学高三阶段练习）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有________种

【答案】81

【详解】

根据题意，分2步进行分析：

①在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有3种情况，

②对于剩下的三人，每人都可以安排在、、三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有种不同的选法，

则有种不同的分配方法；

故答案为：81

题型5：用计数原理解决组合数问题

1．（2022·全国·高三专题练习）1.已知一个三位数从0，1，2，3，4中任意选取.如果三位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个三位数？如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？

【答案】48；100

【详解】

若不重复，三位数先考虑百位情况，共4种选择，十位除去百位已选一个数，也是4种不同选择，个位共3种不同选择，故总共能得到4×4×3＝48个不同的三位数.

若重复，三位数先考虑百位，共4种不同选择，十位共5种不同选择，个位共5种不同选择，故共有4×5×5＝100个不同的三位数.

2．（2022·全国·高三专题练习）（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？

（2）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？

（3）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？

【答案】（1）81(种)；（2）24(种)；（3）64(种).

【详解】

（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．

（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此跑步项目有4种选法，跳高项目有3种选法，跳远项目只有2种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有4×3×2＝24(种)．

（3）要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有4×4×4＝64(种)可能的结果.

3．（2022·全国·高二）某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．

（1）任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？

（2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？

（3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？

【答案】（1）21；（2）336；（3）146.

【详解】

（1）分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二类，从高二年级

选1个班，有7种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，

由分类加法计数原理，知共有种不同的选法；

（2）分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级

选1个班，有7种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，

由分步乘法计数原理，知共有种不同的选法；

（3）分三类，每类又分两步：第一类，从高一，高二两个年级中各选1个班，有种不同的选法，

第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，

第三类，从高二，高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，

由分类加法计数原理，知共有种不同的选法．

4．（2021·全国·高二课时练习）有6张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，求不同的排法种数．

【答案】384（种）

【详解】

将1，2，3，4，5，6中数字之和等于7的两个数字分成一组，

记，，．

第一步，排第一行的两个数字，先从，，三组中选取两组，有3种选法，再从这两组中各选取一个数，有种选法，最后将这两个数排在第一行，有2种排法，故第一行的排法种数为．

第二步，排第二行的两个数字，先从，，中第一步未选到的那一组中选取一个数，有2种选法，再从第一步选取的两组中剩余的两个数中选取一个数，有2种选法，最后将这两个数排在第二行，有2种排法，故第二行的排法种数为．

第三步，将余下的两个数排在第三行，有2种排法．

由分步乘法计数原理，知不同的排法共有（种）．

5．（2021·江西·九江市第三中学高二期中（理））现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．

（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法?

（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法?

（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法?

【答案】（1）34种；（2）5040种；（3）431种.

【详解】

解：（1）根据题意，四个班共34人，要求从34人中，选其中一人为负责人，

即有种选法

（2）根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有7种情况，

从二班选一名组长，有8种情况，从三班选一名组长，有9种情况，

从四班选一名组长，有10种情况，

所以每班选一名组长，不同的选法共有：（种）．

（3）根据题意，分六种情况讨论，

①从一、二班学生中各选1人，有种不同的选法；

②从一、三班学生中各选1人，有种不同的选法，

③从一、四班学生中各选1人，有种不同的选法；

④从二、三班学生中各选1人，有种不同的选法；

⑤从二、四班学生中各选1人，有种不同的选法；

⑥从三、四班学生中各选1人，有种不同的选法，

所以不同的选法共有：

（种）．

6．（2022·全国·高二）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的

（1）密码箱的四位密码；

（2）比2000大的四位偶数.

【答案】（1）360；（2）120

【详解】

解：（1）分步解决.

第一步：选取第一个位置上的数字，有6种选取方法；

第二步：选取第二个位置上的数字，有5种选取方法；

第三步：选取第三个位置上的数字，有4种选取方法；

第四步：选取第四个位置上的数字，有3种选取方法.

由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位密码共有.

（2）按个位是0，2，4分为三类.

第一类：个位是0的有个；第二类：个位是2的有个；第三类：个位是4的有个.

故由分类加法计数原理得比2000大的四位偶数有个.

题型6：用计数原理解决涂色（种植）问题

1．（2021·广东·华南师大附中南海实验高中高二期中）用5种不同颜色给图中、、、四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为（ ）

A．120 B．160 C．180 D．240

【答案】C

试题分析：若A,C的颜色相同时：第一步涂A,C有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂D有4种方法，共计种；若A，C的颜色不同时：第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三部涂C有3种方法，第四步涂D有2种方法，共计种方法，所以有180种方法

2．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模（理））地图涂色是一类经典的数学问题．如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（    ）种．

A．84 B．72 C．48 D．24

【答案】A

【详解】

根据题意，分2种情况讨论：

若区域42涂不同颜色，区域4有4种，区域2有3种，区域1有2种，区域3有2种，共有种；

若区域42涂相同颜色，区域4有4种，区域3有3种，区域1有2种，共有种；故有种，故选：A

3．（2021·全国·高二单元测试）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（    ）

A．420 B．960 C．1440 D．1560

【答案】D

【详解】

解：分4步进行分析：

①，对于区域，有6种颜色可选；

②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；

③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；

④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选，

若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选，

则区域、有种选择，

则不同的涂色方案有种；

故选：D

4．（2021·山东泰安·高二期末）如图所示，将一环形花坛分成，，，四块，现有5种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为______.

【答案】260

【详解】

第一种情况，当相同时，有种方法，

第二种情况，当不同时，有种方法，

综上可知，共有种方法.

故答案为：

5．（2021·浙江浙江·高二期末）如图，用6种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．

【答案】480

【详解】

从A开始涂色，A有6种涂色方法，

B有5种涂色方法，C有4种涂色方法；

由D区与B，C 涂不同色，与A区颜色可以同色也可以不同色，则D有4种涂色方法．

故共有种涂色方法．

故答案为：480

6．（2021·福建·莆田第二十五中学高二期中）如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方法．

【答案】480

【详解】

操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480(种)着色方法．

故答案为：480．

7．（2021·广东中山·高二期末）如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种

【答案】72

【详解】

先对部分种植，有4种不同的种植方法；

再对部分种植，又3种不同的种植方法；

对部分种植进行分类：

①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种），

②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，

共有（种），

综上所述，共有72种种植方法．

故答案为：72.

8．（2021·浙江丽水·高二课时练习）用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？

【答案】260

【详解】

解：第一类，1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成，

第一步，涂1号区域和4号区域，有5种涂法；

第二步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有4种涂法；

第三步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有4种涂法.

由分步乘法计数原理知，有5×4×4=80种涂法.

第二类，1号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成，

第一步，涂1号区域，有5种涂法；

第二步，涂4号区域，只要不与1号区域同色即可，因此有4种涂法；

第三步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有3种涂法；

第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法.

由分步乘法计数原理知，有5×4×3×3=180种涂法.

依据分类加法计数原理知，不同涂色的方法种数为80+180=260.