专题08 利用参变分离法解决导数问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

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专题08  利用参变分离法解决导数问题一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若关于的方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】故，则，，设，，故，在上为减函数，.故时；时.故在上为增函数，在上为减函数.，且时；时与的图象要有两个交点，则的取值范围为.故选：B2．已知函数，．对于任意，且，都有，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】因为，所以同号，因此与的单调性相同，因为，所以函数单调递增，因此也单调递增，，因为是增函数，故恒成立．即恒成立．，则，设因为，故单调递增，又，故当时，，即，因此单调递减，当时，，即，因此单调递增，故最小值为．故．故选：D3．若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】由题意可得，没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.令，，则，令则在上单调递减且，所以当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，故当时，取得最大值，又时，，时，，结合图象可知，即.故选：C.4．已知函数（为自然对数的底数），．若存在实数，，使得，且，则实数的最大值为（    ）A． B． C． D．1【解析】，，又且，，由，即，整理得：，令，，则，和在上均为减函数，在上单调递减，，即在上恒成立，在上单调递减，，即实数的最大值为.故选：C.5．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】由已知可得在上有两解，令，，则问题转化为函数与在上有两个交点，，令，则，因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又，所以当时，，则；当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，实数k的取值范围为.故选：B6．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】∵对于任意的，且，都有成立，∴不等式等价为恒成立，令，则不等式等价为当时，恒成立，即函数在上为增函数；，则在上恒成立；∴；即恒成立，令，∴；∴在上为增函数；∴；∴；∴.∴的取值范围是.故选：C.7．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】函数的定义域为，当时，恒成立，即，构造函数，则，所以，函数在区间上为增函数，则对任意的恒成立，，令，其中，则.，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，函数的最小值为，.因此，实数的取值范围是.故选：D.8．已知函数与的图象上存在两对关于直线对称的点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】∵ 函数与的图象上存在两对关于直线对称的点，∴ 函数与函数的图象有两个交点，即方程，有两解，即方程，有两解，令，，则，当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数.故当时，，又，所以当时，，画出函数图象，如图：由图可知的取值范围.故选：B.9．若对于任意的，，有恒成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【解析】由题意，不妨设，则可变为，即，整理得：，所以函数在上为减函数，，令，得设，则，因为，所以在上为减函数，即，所以，即的最小值为.故选：C10．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】由对任意，不等式恒成立，得对任意恒成立，即对任意恒成立．因为，所以．令，则，显然当时，，单调递减；当时，单调递增．所以，故，解得．或：令，则由知，不等式可化为，故当时，恒成立，即当时，恒成立．令，则，显然当时，单调递增；当时，单调递减．所以，故，解得．故选：C.11．已知函数，是的导函数，若关于的方程有两个不等的根，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】因为函数，则函数的定义域为，且，所以方程化为，整理得，令，则，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以要使关于的方程有两个不等的根，则实数需满足，故选：C.12．设函数，若存在区间，使得在上的值域为，则实数k的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】由题意可得，设，则，所以当时，，所以函数在上单调递增，所以，所以在上单调递增，又因为，所以在上单调递增，又在上的值域为，所以，则方程在上的两个根为、，由，可得，构造函数，其中，，令，其中，，当时，，所以，函数在上单调递增，当时，，即，此时函数单调递减；当时，，即，此时函数单调递增.所以，，，如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故选：C.二．填空题13．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________．【解析】由题意，不等式可化为，当时，恒成立；当时，不等式可化为，令，，则，求导得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则，综上所述，实数a的取值范围是.14．若函数与图象上存在关于点对称的点，则实数的取值范围是___________.【解析】在曲线上任取一点，则该点关于点的对称点在曲线上，所以，，可得，构造函数，其中，，当时，，，则，此时函数单调递减；当时，，，则，此时函数单调递增.所以，，且当时，，所以，函数的值域为.因此，实数的取值范围是.15．当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是__．【解析】当时，不等式恒成立，即为对恒成立，①当即时，恒成立；②当，即时，恒成立，等价为，设，，可得时，，递增；时，，递减，可得在处取得最大值，且为，则；③当，即时，恒成立，等价为，设，，可得时，，递减，可得，则，综上可得，k的范围是．16．若时，关于不等式恒成立，则实数的最大值是______.【解析】当，时，不等式显然恒成立.当时， .由于，即.所以原不等式恒成立，等价于恒成立.构造函数，.易知在上单调递减，在上单调递增.则原不等式等价于要证.因为，要使实数的最大，则应.即. 记函数，则.易知，.故函数在上单调递减，所以.因此只需.综上所述，实数的最大值是.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知点在函数(且)上.（1）求函数的单调区间；（2）若，且在上恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）∵(且)过点，可得，，∴.，，所以，，，，所以函数的递增区间为；递减区间为在.（2）∵，∴，即恒成立，即，令，可得，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以，所以.18．已知函数（1）若，求的极值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）∵当时，，∴，令，，由于，所以，所以在上单调递增，且时，∴当，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，∴时取极小值，，无极大值．（2）∵，∴，令，，令，∵，在上是单调递减函数，且，所以当时，，即，的单调递增函数，当时，，即，的单调递减函数，所以，可得，即.19．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】（1）因为，．所以．①当时，令，得．在上单调递减；令，得，在上单调递增．②当时，令，得． 在上单调递减；令，得或．在和上单调递增．③当时，在时恒成立，在单调递增．④当时，令，得．在上单调递减；令，得或．在和上单调递增．综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增．（2）不等式，等价于．时，．设函数，则．当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．，．综上，的取值范围为．20．已知函数.（1）若，证明：函数存在两个零点；（2）若恒成立，求a的取值范围.【解析】（1）证明：时，.令，得.当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，于是.注意到，因此在上存在一个零点；又，因此在上存在一个零点，故函数存在两个零点.（2）不等式可化为，即.令，则.设，则，因此单调递增，又，因此时，即，从而在上单调递减，时，即，从而在上单调递增，因此的最小值为，从而a的取值范围是.21．已知函数的图象在点处的切线方程为.(本题可能用的数据：，是自然对数的底数)（1）求函数的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求整数t的最大值.【解析】（1）函数的定义域为，，所以有，解之得，故函数的解析式为：；（2）当时，则，令()，则由题意知对任意的，，而，，再令()，则，所以在上为增函数，又，，所以存在唯一的，使得，即，当时，，，所以在上单调递减，当时，，，所以在上单调递增，所以，所以，又，所以，因为t为整数，所以t的最大值为8.22．已知函数（）.（1）若为整数，且在上恒成立，求的最大值；（2）若函数的两个极值点分别为，，且，证明：.【解析】（1）由且，得，令，则，令，因为在上单调递增，且，，所以存在唯一零点，满足，且在单调递减，在单调递增，，因为为整数，所以的最大值为；（2），令，则，为方程有两不同实根，，所以在区间上单调递增，而且，因此在区间上存在唯一零点，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，解得，所以，因为，，由的单调性得：，所以，所以（对数不等式）.