专题07 利用导数解决双变量问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

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专题07  利用导数解决双变量问题一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】由，则，因为函数存在两个极值点，，所以，即 ，， ，设，则，当时，，则在上单调递减.所以，所以的取值范围是，故选：B2．设函数，，若对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】因为在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，因为，所以，当时，，所以在上单调递增，所以的最大值为，因为对任意，不等式恒成立，所以，因为，所以，解得.故选：D3．已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【解析】的定义域，，令，则必有两根，，所以，，，，当时，，递减，所以的最小值为，故选：A.4．已知函数，若，其中，则的最大值为（    ）A． B．  C． D．【解析】由题意，， ，则，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又时，，时，，作函数的图象如下：由图可知，当时，有唯一解，故，且，∴，设，，则，令，解得，易得当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故，即的最大值为.故选：A.5．已知函数，，若对，，使，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【解析】，()，若，，为增函数，若，或，为减函数，在上有极值，在处取极小值也是最小值，∵，对称轴，，当时，在处取最小值，当时，在处取最小值，当时，在上是减函数，，∵对，，使，∴只要的最小值大于等于的最小值即可，当时，，解得，故无解，当时，，解得，此时无解，当时，，解得，综上，，故选：D.6．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】因为，所以，当时，，所以在上是增函数，所以函数取得最小值.因为，当时，取得最小值，因为对于，，使成立，所以，不成立；当时，取得最小值，因为对于，，使成立，所以，解得，此时；当时，取得最小值，因为对于，，使成立，所以，解得，此时；综上：实数的取值范围是.故选：A7．已知函数，，实数，满足．若，，使得成立，则的最大值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．【解析】， ，，，，当时，解得：，当时，解得：，所以在的单调递增区间是，单调递减区间是，当时取得最小值， ，，函数在单调递增，，，所以，，令，解得：或，由条件可知的值域是值域的子集，所以的最大值是，的最小值是，故的最大值是.故选：A8．已知函数，，若对任意的，存在唯一的 [，2]，使得，则实数的取值范围是（　　）A．（e，4] B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]【解析】在[，2]的值域为，但在（,2]递减,此时∈[﹣4，）．的导数为，可得在递减，递增，则在的最小值为，最大值为，即值域为[0，e]．对任意的，存在唯一的[，2]，使得可得，可得，解得．故选：B．9．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】由题得函数的导数.由题意可得（，且）.即有，化为，而，∴，化为对都成立，令，，，对恒成立，即在递增，∴，∴，∴，即的取值范围是.故选：B.10．已知函数满足对于任意，存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【解析】由函数在定义域单调递增，对于任意，存在，使得成立，即任意，存在，使得成立，即满足，令，对称轴方程为，在可得令，求导可得，，可得，在，，单调递增，所以在，，即，解得，故选C.11．已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】已知函数，令，所以在上递减，在上递增，当时，，当时，，当时，，所以，即的值域为.因为，所以，又因为，，所以，所以在时递减，所以的值域为.因为对于任意，总存在，使得成立，所以的值域包含的值域，即，所以，解得.故选：A12．已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（   ）A．7 B．8 C．9 D．11【解析】由题干条件可知：等价于，令，，则 ， ，当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.令，，则，当时，此题无解，所以，则，当，当，所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.若成立，只需，即，即，两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，令，本题即求的最大的正整数.恒成立，则在上单调递减，，，，所以的最大正整数为9.故选：C.二、填空题13．若函数在区间内的图像上存在两点，使得在该点处的切线相互垂直，则实数的取值范围为________.【解析】，设存在两点满足在该点处的切线相互垂直，则，因为，所以，从而，或，故答案为：14．已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________.【解析】函数的定义域为，，依题意，方程有两个不等的正根、（其中），则，由韦达定理得，，所以 ，令，则，，当时，，则函数在上单调递减，则，所以，函数在上单调递减，所以，.因此，的取值范围是.15．已知函数f（x）=x2ax3（a＞0），x∈R.若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，则a的取值范围是_____.【解析】因为=﹣2ax2+2x，令=0得，①：当，即a≥1时，＜0，在x∈[1，+∞）恒成立，所以f（x）在[1，+∞）递减，∵，，若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，所以f（x1）的值域为（），f（x2）的值域为（），由f（x1）f（x2）=1得：.显然，当f（x1）→﹣∞时，→0（负数），故要满足结论，首先需满足：，，解得.所以.②当，即时，f（x1）在（2，+∞）上递减，故此时f（x1），f（x2）在（1，）递增，在递减，故0.此时只需即可，解得.③当，即时，f（x1），f（x2）的最大值都是0，所以能取到所有正实数，而，故此时不满足题意.综上，a的取值范围是[].16．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是___________.【解析】令，，.当时，，故在为增函数，故在上的值域为.又当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数.令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，故对直线与函数的图象有且只要一个公共点，而，且在上为减函数，在上为增函数，故，所以，即.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数（为常数）.（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，，且，求的范围.【解析】（1）∵，∴只要，即时恒成立，在定义域上单调递增.（2）由（1）知有两个极值点则，的二根为，则，，，设，又，∴.则，，∴在递增，.即的范围是.18．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数(其中是的导函数)，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围.【解析】（1）的定义域为，而，令，则①当时，在单调递增；②当，即时在单调递增；③当时，有两根，.所以增区间，；减区间.综上述，当时，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（2），则的定义域为，，若有两个极值点，，且，则方程的判别式，且，，得，且.所以设，则在上恒成立，故在单调递减，从而，，所以的取值范围是.19．已知函数在和时取极值，且.（1）已知，求的值；（2）已知，求的取值范围.【解析】⑴∵，∴，∵在和时取极值，∴，∴，是的两个不等实根，∴ ，，解得，经检验，符合题意. ⑵由⑴知，，∴∵，是的两个不等实根，∴，，∴，，∴设，∵，∴，①又，是的两个不等实根，∴△=，得，②由①②知， 而，设，则，，由二次函数的性质可知在上恒成立，则在上恒成立，则在上单调递减，而，，故的取值范围为.20．已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若对于任意，存在使得不等式成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）由题意得，，①当时，令，则，∴在上递减；令，则，∴在上递增；②当时，则，令，则或，∴在和上递减；令，则，∴在上递增；③当时，则，∴在上递减；④当时，则，令，则或，∴在和上递减；令，则，∴在上递增；（2）由题意得在恒成立，∴在上递增，∴，∴存在使得成立，即成立，令，，则，∴在上递增，∴，∴实数a的取值范围为.21．已知函数的一个极值点是.（1）求a与b的关系式，并求的单调区间；（2）设，，若存在，，使得成立，求实数a的范围.【解析】（1）可求得，的一个极值点是，，解得，，当时，，单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意，当时，令，解得，令，解得或，当时，令，解得，令，解得或，综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；（2），由（1）可知，时，在单调递增，在单调递减，，，，，在单调递增，，，存在，，使得成立，即存在，，使得成立，，解得.22．已知函数.（1）求函数的最大值；（2）若关于的方程有两个不等实数根，证明：.【解析】（1）因为，所以.令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.（2）证明：方程可化为.设，显然在上是增函数，又，所以有，即方程有两个实数根，.由（1）可知，则有，所以的取值范围为.因为方程有两个实数根，，所以，则，要证，即证.，需证.需证.不妨设，令，则，即要证.设，则，所以在上是增函数，，即成立，故原式成立.