专题05 利用导数解决零点、交点与根的问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

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专题05  利用导数解决零点、交点与根的问题一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围为（    ）．A． B．C． D．【解析】当时，，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以在处取得极大值为，当时，，，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值为，又，因为函数仅有一个零点，所以的图象与直线仅有一个交点，作出函数的图象，如图：由图可知：或.故实数的取值范围为.故选：C2．已知函数，当且时，方程的根的个数是（    ）A．7 B．6 C．9 D．8【解析】设，，与均为奇函数，∴只需求与在上的交点个数.∵，所以在和上单调递增，在和上单调递减，且；又单调递减且，∴在上有4个交点，故在上也有4个交点，故方程在且上有8个根，故选：D.3．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】由题意得，设切点坐标为：， 则过原点的切线斜率：，整理得：， ，存在两条过原点的切线，，，存在两个不同解，设，，则问题等价于与存在两个不同的交点又，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，的大致图象如下：若与存在两个不同的交点，则，解得：，故选：B4．已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】由题可知：等价于在区间内只有一个根，即在区间内只有一个根，令，令，，函数在区间单调递增，，所以，函数在区间单调递增，所以有，即，故选：B.5．已知函数的图象上存在关于直线对称的不同两点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【解析】依题意，函数的图象上存在关于对称的不同两点，则存在，，且，使得，则，因此，设，，故问题转化为存在，使得函数与有交点，又在上恒成立，所以函数在上单调递增，故，因此，为使函数与有交点，只需.故选：B.6．已知函数，若函数图像与轴有4个不同的交点，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【解析】由，得，得或，令，则，当时，，递增；当时，，递减，所以，又，当时，，当时，，的图象如图：因为函数图像与轴有4个不同的交点，所以与一共有四个实根，由图可知，，解得或.所以实数的取值范围为.故选：C7．已知，若函数存在两个零点，，且，则下列结论可能成立的是（    ）．A． B． C． D．【解析】当时，函数只有一个零点，故，因为函数存在两个零点，，且所以方程在上有两个不相等的实数根.令，，所以当时，时，故函数在上单调递增，在上单调递减；所以，所以，当时，，当时，.故选：D.8．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，函数，若关于的函数恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ）．A． B．C． D．【解析】或，时，，，时，，递减；时，，递增，∴的极小值为，又，因此无解．此时要有两解，则，又是奇函数，∴时，仍然无解，要有两解，则．综上有．故选：C．9．已知，，，若函数有且只有两个零点，则实数k的取值范围为（    ）A． B．C． D．【解析】因为，所以，因为，所以，所以，所以，令，则.令，得，令，得或，所以在上单调递增，在，上单调递减，所以的极大值为，极小值为.因为函数有且只有两个零点，所以方程有且只有两个实数根，即方程和共有两个实数根.又，所以或或，解得或.故选：A.10．已知函数.若函数有三个零点，则（    ）A．， B．，C．， D．，【解析】因为所以要使函数有三个零点，则必定有两个正实数根，即，，所以，解得，此时，，令，解得或，即函数在和上单调递增，令，解得或，即函数在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值；因为当时，；当时，，要使函数函数有三个零点，则，，即且，因为，所以，，所以，，所以，又，所以，故选：B11．已知函数，则函数零点的个数为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】因为的零点个数与图象的交点个数，当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，又因为当时，，且，所以时，；当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，又当时，，当时，，所以时，，作出的函数图象如下图所示：由图象可知有个交点，所以有个零点，故选：A.12．设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且 则的值是（    ）A．81 B．-81 C．9 D．-9【解析】由有三个不同的零点知：有三个不同的实根，即有三个不同实根，若，则，整理得，若方程的两根为，∴，而，∴当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增；即当时有极小值为，又，，有，即.∵方程最多只有两个不同根，∴，即，，∴.故选：A二．填空题13．已知函数在区间内有零点，则的取值范围为_____【解析】，（1）当时，在区间内，，在区间内单调递减，只要满足；，无解；（2）当时，，①若，即时，在单调递减，在区间单调递增；只要，所以令，当时，恒成立，所以，.②当或时，在上单调，且，所以函数在上没有零点；故答案为：.14．已知函数，若且，则的最大值是___________.【解析】因为，作出函数的图象如下图所示：设，则，由，可得，由，可得.令，其中，，可得.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，.因此，的最大值为.15．已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为________.【解析】，因为，所以，.，又因为，所以，，所以，，所以.令，，则，所以.设，，则，在上单调递增，所以，，故.故答案为：16．已知函数.若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________.【解析】令，则方程化为，解得或，由时，，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，若时，，可得，函数单调递增，所以在递增，在递减，在上递增，则函数的图象，如图所示，又由关于x的方程恰有4个不相等的实数根，转化为有3个解，且只有1个解，即满足，解得，即实数的取值范围为.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数， ．（1）若对任意给定的，总存在唯一一个，使得成立，求实数的取值范围．（2）若对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意知，，因为，所以由解得或，由解得，故的单调递增区间为，单调递减区间为和 ，，，所以的值域为．又因为在上单调递增，所以的值域为．问题转化为直线和曲线的图象只有一个交点，结合图象，有解得a的取值范围是．（2）由（1）可知，问题转化为与曲线，二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有，解得a的取值范围是． 18．已知函数．（1）设函数，当时，证明：当时，；（2）若有两个不同的零点，求的取值范围.【解析】（1），，所以在上为单调递增函数，且，当时，.（2）设函数，则，令，当时，当时，，当时，，得，所以当时，，在上为单调递增函数，此时至多有一个零点，至多一个零点不符合题意舍去.当时，有，此时有两个零点，设为，且．又因为，，所以.得在，为单调递增函数，在上为单调递减函数，且，所以，，又因为，，且图象连续不断，所以存在唯一，使得，存在唯一，使得，又因为，所以，当有两个不同的零点时，.19．已知函数（…是自然对数的底数）．（1）若在内有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）时，讨论关于x的方程的根的个数．【解析】（1）由题意可求得，因为在内有两个极值点，所以在内有两个不相等的变号根，即在上有两个不相等的变号根． 设，则，①当时，，所以在上单调递增，不符合条件． ②当时，令得，当，即时，，所以在上单调递减，不符合条件； 当，即时，，所以在上单调递增，不符合条件； 当，即时，在上单调递减，上单调递增，若要在上有两个不相等的变号根，则，解得． 综上所述，． （2）设，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减．（ⅰ）当时，，则，所以．因为，所以，因此在上单调递增． （ⅱ）当时，，则，所以．因为即，又 所以，因此在上单调递减． 综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，，当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0， 当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1， 当，即时，①当时，，要使，可令，即；②当时，，要使，可令，即，所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2，综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，当时，关于x的方程根的个数为1，当时，关于x的方程根的个数为2．20．已知函数.（1）求函数的极值；（2）若 在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，当时，函数无极值，当时，，若，令，则；令，则，所以函数在单调递增，在单调递减，所以的极小值为，无极大值，若，令，则；令，则，所以函数在单调递增，在单调递减，所以的极大值为，无极小值，（2）令，，当时，，所以在单调递增，所以，所以，由题可知：在上有且只有一个零点，即在上有且只有一个根，等价于在上有且只有一个根，等价于函数与函数的图象在只有一个交点，，令，则，，当时，，所以在单调递增，则，所以在单调递增，则，所以在单调递增，所以，所以21．已知函数，.（1）求函数的极值点；（2）若关于的方程至少有两个不相等的实根，求的最大值.【解析】（1）函数的定义域为..令，得或(舍).当时，，∴单调递增；当时，，∴单调递减，则当时，函数取得极大值，故函数的极大值点为，不存在极小值点.（2）由可得，∴.设，则.令.则，令，可得或(舍).所以在上，，单调递减；在上，，单调递增，所以函数的最小值为.又，所以当时，，又当时，，因此必存在唯一，使得，当变化时，，，的变化情况如表：1+0-0++0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增当时，有极大值，当时，有极小值.又，，且当时，，所以，可得时，直线与函数至少有两个交点，所以的最大值为.22．已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）设是函数的导函数，讨论函数在上的零点个数.【解析】（1）的定义域为.，令，则.当时，.令，解得，在上，在上，所以在 单调递减，在上单调递增，且，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增.（2）①当时，即时，当时，，故在上单调递减.，.当，即，即时，在上恒成立，所以时，在上无零点.当，即，即时，.由零点存在性定理可知，此时在上有零点.又因为函数在上单调递减，所以此时在上有一个零点.②当时，即时，当时，，所以在上单调递增.，.当，即时，.由零点存在性定理，知此时在上有零点.因为在上单调递增，故在上仅有1个零点.当时，，此时在上无零点.③当，即时，则时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，故.令，则，所以在上单调递减，且，，所以在上选增后减.又，所以，故，此时在上无零点.综上所述，当或时，在上有1个零点；当时，在上无零点.