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方法技巧专题30 不等式的解法与基本不等式-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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方法技巧专题30 不等式的解法与基本不等式
（解析版）

1.例题
【例1】已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B等于(　　)
A.(－1,2) B.(－2,1)
C.(0,1) D.(0,2)
【答案】D
【解析】由题意得A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－10}，
∴ A∩B＝{x|0 【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).
【解析】原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解为当a＝1时，解集为∅；
当0 当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为.
【例3】
已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
【答案】　{x|x≥3或x≤2}
【解析】　由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.

【例4】（1）已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.
（2）已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围.
（3）若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.
【解析】（1）当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立.
当m≠0时，则即－4 综上，－4 （2）要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立.
方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3].
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以0 当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，
所以只需m< 即可. 所以m的取值范围是.
（3）设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图像是直线，当m∈[1,2]时，图像为一条线段，
则即解得故x的取值范围为.

2.巩固提升综合练习
【练习1】解下列不等式：
(1)－x2－2x＋3≥0；
(2)已知函数f(x)＝解不等式f(x)>3.

【解析】　(1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.
而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(2)由题意或解得x>1.故原不等式的解集为{x|x>1}．

【练习2】解关于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
【解析】因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，解集为.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
【练习3】已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求a，b；
(2)解不等式＞0(c为常数)．
【解析】(1)由题知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，即所以a＝1，b＝2.
(2)不等式等价于(x－c)(x－2)＞0，当c＞2时，解集为{x|x＞c或x＜2}；当c＜2时，解集为{x|x＞2或x＜c}；当c＝2时，解集为{x|x≠2}．

分式不等式
（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式
（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即
（3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需同号即可，所以将分式不等式转化为（化商为积），进而转化为整式不等式求解

1.例题
【例1】解不等式：．
【解析】解法1：化为两个不等式组来解：
∵x∈∅或，
∴原不等式的解集是．
解法2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．
∵，
∴原不等式的解集是.
【例2】解不等式．
解：原不等式可化为：
，
所以原不等式的解集为．
说明：转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．

2.巩固提升综合练习
【练习1】解下列不等式：
(1) (2)
【解析】（1）原不等式可化为：，所以原不等式的解集为．
(2) ∵ ，原不等式可化为：，所以原不等式的解集为．
【练习2】解不等式：（1）（2）（3）
【解析】（1）
或不等式的解集为
（2）

不等式的解集为
（3）思路：观察发现分母很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了
解：

不等式的解集为
【名师点睛】分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为再进行求解

运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点)
(1)“一正”——各项为正数；
(2)“二定”——“和”或“积”为定值；
(3)“三相等”——等号一定能取到．

1.例题
【例1】(1)已知0 （2）若函数在处取最小值，则等于（）
A．3 B． C． D．4
（3）已知，则的最小值为（）
A． B．6 C． D．
(4)已知，则函数的值域为________．

【答案】（1）　（2）A （3）B (4)
【解析】（1）x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．
（2）当时，，则= 4
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选：A.
(3)∵，∴
∵，
∴，当且仅当时等号成立.故选B.
(4)设由知，，，
故，
∵ （当且仅当时，等号成立）．
∴函数的值域为．

2.巩固提升综合练习
【练习1】函数y＝的最大值为________．
【答案】　
【解析】　y＝，当x－1＝0时，y＝0，
当x－1>0时，y＝≤＝，∴当且仅当＝等号成立，即x＝5时，ymax＝.
【练习2】已知，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，可得：，
则，
当且仅当时，等号成立，
则的最小值为。故选：A．

1.例题
【例1】(1)已知正数、满足，则的最小值为（）
A．8 B．12 C．10 D．9
(2)已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）
A． B． C． D．

【答案】(1)D (2)B
【解析】(1)正数、满足，根据不等式性质得到：

等号成立的条件为故答案为：D.
(2)因为，，，
所以
.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知正实数，满足，则的最小值为（）
A．4 B．6 C．9 D．10
【答案】C
【解析】∵，，，∴，
当且仅当时，即时取“=”. 故答案选C
【练习2】已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得：，即

，，
（当且仅当，即时取等号）
（当且仅当时取等号）

本题正确选项：
【练习3】已知正数、满足，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以，，
则，
所以，，当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，故选：．
【练习4】已知，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，可得：，
则，
当且仅当时，等号成立，
则的最小值为。故选：A．

1.例题
【例1】已知，，且，则的最小值为（）
A． B． C．5 D．9
【答案】A
【解析】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A.

2.巩固提升综合练习
【练习1】若正数满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵正数满足，
∴，解得，
∴，当且仅当时，等号成立，∴的最大值为．故选：B．
【练习2】已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝的最小值为________．
【答案】　
【解析】　∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.
又∵a，b>0，∴≤，∴－≥－，
∴u＝＝3－≥3－＝3－≥3－＝

1.例题
【例1】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______.
【答案】160
【解析】设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为，
由题意可得水池总造价
，
则
，，
当且仅当，即时，有最小值297600，
此时另一边的长度为，
因此，当水池的底面周长为时，水池的总造价最低，最低总造价是元，
故答案为160．

2.巩固提升综合练习
【练习1】某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处
【解析】设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．
答案：A

1．若集合A＝，B＝{x|x2<2x}，则A∩B＝。
【答案】{x|0 【解析】因为A＝＝{x|0≤x<1}，B＝{x|x2<2x}＝{x|0 2．不等式的解集为。
【答案】
【解析】因为即，
利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，
3．关于的不等式解集为，则点位于第象限
【答案】一
【解析】因为关于的不等式解集为，
由分式不等式的解集可得：，或，
即即点位于第一象限，
4．不等式的解集为。
【答案】
【解析】由题得所以所以
所以，所以.故选：D
5．若函数在处取最小值，则等于（）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【解析】当时，，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选：A.
6．不等式对于恒成立，则的取值范围是。
【答案】
【解析】当时，原不等式化为，不等式恒成立.当时，要使不等式对于恒成立，则需，解得.综上所述，的取值范围是.
7．已知对任意的，函数的值总大于，则的取值范围是。
【答案】或
【解析】，构造函数.
由题意可知，即，解得或.
8．分式不等式的解集为__________
【答案】
【解析】，通分可得：
转化为一元二次不等式
，解得
9．设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则
所以

当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.故选A
10．已知，，，的等比中项是1，且，，则的最小值是______.
【答案】4
【解析】，的等比中项是1

当时等号成立.
故答案为4
11．若关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为。
【答案】
【解析】由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，
所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故a的取值范围为.
12．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是。
【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【解析】由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.
13．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是________．
【答案】[－4，3]
【解析】原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1 14．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．
【答案】[－8，4]
【解析】因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
15．若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为。
【答案】(5，＋∞)
【解析】　m>x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时，f(x)min＝5，存在x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.
16．已知实数x，y满足x2＋y2＝3，|x|≠|y|，则＋的最小值是________．
【答案】　
【解析】　由已知可得＝1，
∴＋
＝×
＝≥(5＋4)＝，
当且仅当|x－2y|＝|2x＋y|时取等号．
17．已知P为椭圆＋＝1上一个动点，过点P作圆(x＋1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则·的取值范围为________．
【答案】　
【解析】　如图，由题意设∠APB＝2θ，则PA＝PB＝，
∴·＝||||cos 2θ＝·cos 2θ＝·cos 2θ，
设cos 2θ＝t，则t<1,1－t>0，
∴·＝＝(1－t)＋－3≥2－3＝2－3，
当且仅当1－t＝，即t＝1－时等号成立，此时cos 2θ＝1－.
又当点P在椭圆的右顶点时，sin θ＝，
∴cos 2θ＝1－2sin2 θ＝，
此时·最大，且最大值为×＝.
∴·的取值范围是.

18．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是。
【答案】[－1,3]
【解析】　因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a>1时，不等式的解集为{x|1 当a<1时，不等式的解集为{x|a 当a＝1时，不等式的解集为∅，
要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1a≥－1，
所以实数a的取值范围是a∈[－1,3]，故选C.
19．不等式x2－2ax－3a2<0(a>0)的解集为________.
【答案】　{x|－a 【解析】　x2－2ax－3a2<0⇔(x－3a)(x＋a)<0，
∵a>0，∴－a<3a，不等式的解集为{x|－a 20．已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则的最小值是________．
【答案】9
【解析】由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，
因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，
所以f′(1)＝2a＋b＝2，
所以＝＋＝(2a＋b)＝≥＝(10＋8)＝9，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
所以的最小值为9.
21．在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋的最小值为．
【答案】　
【解析】　由△ABC的面积为2，所以S＝bcsin A＝bcsin ＝2，得bc＝8，
在△ABC中，由正弦定理得
＋＝＋＝＋＝＋＝＋－
≥2－＝2－＝，当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立．
22．已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________．
【答案】　{x|x＜1或x＞3}
【解析】　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，联立方程解得x＜1或x＞3.
23．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．

【解析】(1)当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立，
当m≠0时，则即－4 综上，－4 故m的取值范围是(－4，0]．
(2)不等式f(x)<5－m，即(x2－x＋1)m<6，
因为x2－x＋1>0，所以m<对于x∈[1，3]恒成立，
只需求的最小值，
记g(x)＝，x∈[1，3]，
记h(x)＝x2－x＋1＝＋，h(x)在x∈[1，3]上为增函数，则g(x)在[1，3]上为减函数，所以g(x)min＝g(3)＝，所以m<.所以m的取值范围是.
24．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.
(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n求|m－n|的取值范围．

【解析】(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－＞1.
所以a＜0且＞1，所以ac＞0.
对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c
有Δ＝(a－b)2＋4ac＞0.
所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．
(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝＋8＋4.
由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t＞1)，由根与系数的关系知＝t，
所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．
所以|m－n|＞，
所以|m－n|的取值范围为(，＋∞)．
25．设函数
（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；
（2）若对于恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由题意，要使不等式恒成立，
①当时，显然成立，所以时，不等式恒成立；
②当时，只需，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）要使对于恒成立，
只需恒成立，
只需，
又因为，
只需，
令，则只需即可
因为，当且仅当，即时等式成立；
因为，所以，所以.
26．设函数，其中．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若对任意，恒有，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，，
（i）当时，，此时，
（ii）当时，，此时，
由（i）(ii)得的值域为；
（2）因为对任意，恒有，
，即，解得，
下面证明，当时，对任意恒有，
（i）当时，，
故成立；
（ii）当时，
，，
故成立，
此时，对任意，恒有，
所以实数的取值范围是.
27．徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/时．已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a＞0)．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【解析】(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，则全程运输成本为
y＝a·＋0.01v2·＝＋5v，则y＝＋5v, v∈(0，100]．
(2)依题意知a，v都为正数，
则＋5v≥2 ＝100，
当且仅当＝5a，即v＝10时取等号．
若10≤100，即0＜a≤100，当v＝10时，全程运输成本y最小．
若10＞100，即a＞100时，则当v∈(0，100]时，可以证明函数y＝＋5v是减函数，即此时当v＝100时，全程运输成本y最小．
综上所得，当0＜a≤100时，行驶速度应为v＝10千米/时，全程运输成本最小；
当a＞100时，行驶速度应为v＝100千米/时，全程运输成本最小．
28．已知关于的不等式.
（1）当时，若的解集为，求实数的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
【解析】
（1）当时，因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得：；
（2），当时，
方程的两个根分别为：.
当时，两根相等，故不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为.