第11章：解三角形（B卷提升卷）-2021-2022学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材苏教版）

第11章：解三角形（B卷提升卷）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（湖北省孝感高中高一（上)期末）若的内角所对的边分别为，已知，则（　　）

A．或    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由题意可知，在中，，

则有，

因为，所以，则，故选D项。

2、（湖北省孝感市八校教学联盟高一下学期期末）】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A：B：：1：2，则a：b：　　

A．1：1：    B．1：1：2    C．1：1：    D．2：2：

【答案】C

3、（山东潍坊一中期末）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值为（　　）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【解析】∵，∴．

∴cosB，

∴sinB，B∈（0，π）．

∴B或．

故选D．

4、（江苏淮阴中学月考）在中，若，，，则AC边上的高为 （   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，,.又 .

故选B.

5、（栟茶中学模拟）在△ABC 中，，则△ABC一定是（   ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

【答案】A

【解析】由正弦定理变式：，

化简可得，

由和差化积公式：，

移项因式分解可得：，

由于括号内式子不等于0，所以：，所以，即三角形为等腰三角形.

故选A.

6、（浙江省亳州市第一学期期末高二质量检测）在中，有

且，其中内角的对边分别是.则周长的最大值为（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】因为，所以

,

，所以周长的最大值为  ，选A.

7、（山东省泰安市高二上学期期末考试）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球距地面的高度是，则河流的宽度等于（  ）

A.     B.

C.     D.

【答案】C

【解析】 ，选C.

8、（江苏南通期末联考）在锐角三角形中，、、分别是内角、、的对边，设，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由正弦定理得：，

又B为锐角，即，且，

为锐角，即，

，即，

，

则的取值范围是，．

故选：A．

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（山东蓬莱联考）.以下关于正弦定理或其变形正确的有　　

A．在中，  

B．在中，若，则 

C．在中，若 ，则，若，则 都成立 

D．在中，

【答案】ACD

【解析】对于，由正弦定理，

可得：，故正确；

对于，由，可得，或，即，或，

，或，故错误；

对于，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，正确；

对于，由正弦定理，

可得右边左边，故正确．

故选：ACD．

10.（宿迁中学模拟）已知锐角，内角，，的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】CD

【解析】在中，，，

由，可得，

由于可得，即有，

若，则，即，为等边三角形，成立；

若，可得，，且，即，

即为，即有，成立．

故选：CD．

11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下

列结论正确的是　　

A． [来源:学科网]

B．是钝角三角形 

C．的最大内角是最小内角的2倍 

D．若，则外接圆半径为

【答案】ACD

【解析】，可设，，，

解得，，，，

可得，故正确；

由为最大边，可得，即为锐角，故错误；

由，由，

由，，可得，故正确；

若，可得，外接圆半径为，故正确．

故选：ACD．

12.在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【答案】BC

【解析】选项满足，选项满足，所以，有两解，

对于选项，可求，三角形有一解，

对于选项，由，且，可得为锐角，只有一解，三角形只有一解．

故选：BC．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（山东师大附中期中）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cosB＝，c＝________.

【答案】7　

【解析】因为cosB＝，所以B∈(0，)，从而sinB＝，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，又由正弦定理得＝，即＝，解得c＝7.

14、(2019通州、海门、启东期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝3bcosA，B＝A－，则B＝________．

【答案】

【解析】　因为acosB＝3bcosA，所以，由正弦定理＝得sinAcosB＝3sinBcosA，故tanA＝3tanB，又B＝A－，故tanB＝＝，解得tanB＝，因为B∈，所以B＝.

15、（2020·浙江镇海中学高二3月模拟）在中，，为的平分线，，则___________．

【答案】

【解析】

则：设，则，又

解得：

16、（2020苏锡常镇联考）（C14,10. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是________．

【答案】 (2，＋∞)　

【解析】中间角为60°，由正弦定理知，m也是最大角与最小角的正弦值之比．

由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°<α<30°.由正弦定理得m＝＝·＋>×＋＝2.

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、(2019常州期末）已知△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2－bcsinA＋c2＝a2.

(1) 求角A的大小；

(2) 若tanBtanC＝3，且a＝2，求△ABC的周长．

 (1) 由余弦定理得a2＝b2－2bccosA＋c2.

又b2－bcsinA＋c2＝a2，所以b2－2bccosA＋c2＝b2－bcsinA＋c2，即2bccosA＝bcsinA.(3分)

从而sinA＝cosA，若cosA＝0，则sinA＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾，所以cosA≠0，所以tanA＝.又A∈(0，π)，所以A＝.

(2) ＝tan(B＋C)＝tan(π－A)＝tan＝－.

又tanBtanC＝3，所以tanB＋tanC＝－×(－2)＝2，解得tanB＝tanC＝.

又B，C∈(0，π)，所以B＝C＝，又因为A＝，所以△ABC是正三角形．

由a＝2得△ABC的周长为6.

18、(2019南通、泰州、扬州一调）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acosB＝bcosA，cosA＝.

(1) 求角B的值；

(2) 若a＝，求△ABC的面积．

. 解：(1)在△ABC中，因为cosA＝，0<A<π，所以sinA＝＝.(2分)

因为acosB＝bcosA，由正弦定理＝，得sinAcosB＝sinBcosA.

所以cosB＝sinB.(4分)

若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B＋cos2B＝1矛盾，故cosB≠0.于是tanB＝＝1.

又因为0<B<π，所以B＝.(7分)

(2)因为a＝，sinA＝，

由(1)及正弦定理＝，得＝，所以b＝.(9分)

又sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)

＝sinAcosB＋cosAsinB

＝·＋·＝.

 所以△ABC的面积为S＝absinC＝×××＝.

19、（南通一中高二第二学期第一次月考）的内角的对边分别为，已知．[来源:学科网ZXXK]

Ⅰ求C；[来源:Zxxk.Com]

Ⅱ若的面积为，求的周长．

【解析】Ⅰ在中，

已知等式利用正弦定理化简得： ，

整理得： ，

即

，又.

，

；

20、（广东省2021届高三上学期综合能力测试）在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由，

问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，

         ，         ？

注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分．

【解析】由，可得，…………………...1分

因为，所以，因此，即，………2分

因为，所以.   ……………………………………………………………3分

方案一：选条件①和②

由和，可得，………………………………………4分

由和，得，

解得或（舍去），………………………………………………………………6分

则，这样的三角形存在，………………………………………………………………8分

其面积.  ……………………………………10分

方案二：选条件①和③

因为，  …………………………………………………………5分

又，解得，， ……………………………………………7分

与矛盾，所以这样的不存在. …………………………10分

方案三：选条件②和③

因为，

则，……………………………………………4分

所以，则，，………………………………………………………6分

因为，则，……………………………………………………………7分

所以，这样的三角形存在，……………………………………………8分

其面积.   ……………………………………………10分

21、（山东师大附中高二上学期期末考试）如图,某大型景区有两条直线型观光路线， , ,点位于的平分线上，且与顶点相距1公里.现准备过点安装一直线型隔离网 (分别在和上)，围出三角形区域，且和都不超过5公里.设， (单位：公里).

（Ⅰ）求的关系式；

（Ⅱ）景区需要对两个三角形区域， 进行绿化.经测算， 区城每平方公里的绿化费用是区域的两倍，试确定的值,使得所需的总费用最少.

试题解析：

(Ⅰ)解法一：由题意得，

故，

即，

所以 (其中).

解法二：在中，由余弦定理得： ，

则，同理可得，

在中，由正弦定理得： ，

在中，由正弦定理得： ，

因为，两式相除可得，

化简得 (其中， ).

当且仅当，即解得此时等号成立.

答：当， (单位：公里)时,所需的总费用最少.

22、（江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试）在①ccosB＋bcosC＝2，②bcos(﹣C)＝ccosB，③sinB＋cosB＝这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝，       ，b＝4？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】选择①：

由余弦定理可知，，……4分

由正弦定理得，，又，所以，…………………6分

所以是直角三角形，则，所以的面积.…10分

选择②：

由正弦定理得，，即，

又，所以，所以，即，

又，所以．……………………………………………………………4分

由正弦定理得，，…………………………………………………6分

所以的面积.…10分

选择③：

因为，所以，

又，所以，所以，即．…………………4分

由正弦定理得，，…………………………………………………6分

所以的面积.…10分