数学必修 第二册第11章 解三角形本章综合与测试课后练习题

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么cos C等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.- C.- D.-

2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=b,A=2B,则cos B等于(　　)

A. B.

C. D.

3.△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为(　　)

A. B.

C. D.

4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状一定是(　　)

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.钝角三角形 D.直角三角形

5.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为(　　)

A.2 B.8

C. D.

6.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,那么a的取值范围为(　　)

A.(8,10) B.(2,)

C.(2,10) D.(,8)

7.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c,设a、b、c满足b2+c2-bc=a2,且=+,则tan B的值为(　　)

A.2 B. C.3 D.

8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,a=,S为△ABC的面积,则S+cos Bcos C的最大值为(　　)

A.1 B.2 C. D.2

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则△ABC的面积可能是(　　)

A. B.

C.4 D.

10.在下列情况中三角形解的个数唯一的是(　　)

A.a=8,b=16,A=30° 

B.b=18,c=20,B=60°

C.a=5,c=2,A=90° 

D.a=30,b=25,A=150°

11.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知c=2,若sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C,则下列说法正确的是(　　)

A.C= B.A∈

C.B∈ D.a+b∈(2,4]

12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a-b,若△ABC的面积S=c,则ab的值可能是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,A+C=2B,则sin C=　　　　.

14.在△ABC中,已知B=45°,C=60°,a=2(+1),则三角形的面积S=　　　　.

15.在△ABC中,若b=5,B=,tan A=2,则sin A=　　　　,a=　　　　.(第一空2分,第二空3分)

16.如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处,12时20分测得轮船在海岛北偏西60°的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,则船速的大小为　　　　.

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-b=ccos B-ccos A.

(1)判断△ABC的形状;

(2)若C=120°,a=2,求c.

18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C.

(1)求A的大小;

(2)若a=,△ABC的面积为,求b+c的值.

19.(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C,D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?

20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2a-b,c),向量n=(cos B,cos C),且m∥n.

(1)求角C的大小;

(2)求函数y=sin A+sin的最大值.

21.(本小题满分12分)如图所示,在四边形ADCB中,AB=BC=CD=2,AD=2.

(1)求cos A-cos C的值;

(2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2,求+的最大值.

22.(本小题满分12分)如图是某公园的绿化示意图,准备在道路AB的一侧进行绿化,线段AB长为2,OC=OD=OA=OB=1,设∠COB=θ.

(1)为了美化公园周围的环境,现要在四边形ADCB内种满郁金香,若∠COD=,则当θ为何值时,郁金香的种植面积最大?

(2)为了方便游人散步,现要搭建一条栈道,栈道由线段BC,CD和DA组成,若BC=CD,则当θ为何值时,栈道的总长l最大?并求l的最大值.

答案全解全析

本章达标检测

一、单项选择题

1.D　由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶4,

不妨设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),

由余弦定理可得cos C===-.故选D.

2.B　由正弦定理得=,

∴a=b可化为=.

又A=2B,∴==,

∴cos B=.

3.B　因为p∥q,所以(a+c)(c-a)=b(b-a),整理得c2-a2=b2-ab,所以cos C==,又C∈(0,π),所以C=.

4.D　∵bcos C+ccos B=asin A,

∴sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,

∴sin(B+C)=sin2A,即sin A=sin2A,

∵0<A<π,∴sin A≠0,

∴sin A=1,故A=,

∴△ABC为直角三角形.

5.C　设圆的半径为R,内接三角形的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C.

则===2R=8,

∴sin C=,∴S△ABC=absin C===.

6.B　设边长为1,3,a的边所对的角分别为C,B,A,则

即解得2<a<,

故选B.

7.B　由余弦定理得cos A==,

又A∈(0,π),所以A=60°,

在△ABC中,C=180°-A-B=120°-B.

由正弦定理得+====

=+,解得tan B=.

8.C　由题意,结合正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即a2=b2+c2-bc,

可得cos A==,因为A∈(0,π),所以A=.

又由正弦定理得b=2sin B,c=2sin C,

所以S+cos Bcos C=bcsin A+cos B·cos C=(sin Bsin C+cos Bcos C)=·cos(B-C),

因为0<B<,0<C<,所以-<B-C<,所以当B-C=0,即B=C时,S+cos B·cos C取得最大值.

二、多项选择题

9.AB　由=,

得sin C==,

∵AB>AC,∴C>B,

又C∈(0,π),∴C=或.

当C=时,A=π-(B+C)=,

∴S△ABC=AB·AC=;

当C=时,A=π-(B+C)=,

∴S△ABC=AB·AC·sin A=.

综上,△ABC的面积为或.故选AB.

10.ACD　A中,∵=,∴sin B==1,∵0°<B<180°,∴B=90°,只有一解;

B中,sin C==,∵c>b,∴C>B,有两解;

C中,∵A=90°,a=5,c=2,∴b==,只有一解;

D中,∵A=150°,a>b,∴只有一解.故选ACD.

11.ABD　由正弦定理及已知可得a2+b2-ab=c2,由余弦定理可得cos C==,

因为C∈,所以C=,

所以===.

故a+b=(sin A+sin B)

=

=4sin,

因为0<A<,0<-A<,所以<A<,所以sin∈,所以a+b∈(2,4].

因为0<B<,0<-B<,所以<B<.

故选ABD.

12.CD　由题意,结合正弦定理得2sin Ccos B=2sin A-sin B,则2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B=2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin B,即2sin Bcos C-sin B=0,由于在△ABC中sin B≠0,所以cos C=,因为C∈(0,π),所以C=,又S=absin C=c,所以ab=2c,由余弦定理得ab=2=2≥2=2,即ab≥4,当且仅当a=b时取等号,所以ab的最小值为4.故选CD.

三、填空题

13.答案　1

解析　在△ABC中,A+B+C=π,A+C=2B,

∴B=.由正弦定理知sin A==,又a<b,∴A<B,∴A=,∴C=,

∴sin C=1.

14.答案　6+2

解析　由题意,结合正弦定理得b===4,故S=absin C=×2(+1)×4×sin 60°=6+2.

15.答案　;2

解析　由tan A=2,得sin A=2cos A,所以sin2A+cos2A=4cos2A+cos2A=1,所以cos2A=,

因为A∈(0,π),

所以sin A==,

由=得a===2.

16.答案　 km/h

解析　轮船从C到B用时80分钟,从B到E用时20分钟,而轮船始终匀速直线前进,故BC=4EB.设EB=x km,则BC=4x km,由已知得∠BAE=30°,∠BAC=120°,∠EAC=150°.

在△AEC中,由=得sin C===.

在△ABC中,由=得AB===(km).

在△ABE中,由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos 30°=+25-2××5×=(km2),故BE= km.

∴船速的大小为=(km/h).

四、解答题

17.解析　(1)由题意,结合正弦定理得

sin A-sin B=sin Ccos B-sin Ccos A,

即sin(B+C)-sin(A+C)=sin Ccos B-sin C·cos A,

则sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos A·sin C=sin Ccos B-sin Ccos A,(3分)

整理得cos C(sin B-sin A)=0,

则cos C=0或sin B-sin A=0,

所以C=90°或A=B,

所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.(5分)

(2)因为C=120°,所以△ABC为等腰三角形,从而a=b=2,(8分)

由c2=a2+b2-2abcos C得

c2=4+4-2×2×2cos 120°,

所以c=2.(10分)

18.解析　(1)由题意及正弦定理得(2sin B-sin C)cos A=sin Acos C,(2分)

整理得2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B,

由于sin B≠0,所以cos A=,(4分)

又0<A<π,所以A=.(6分)

(2)由余弦定理得7=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,①(8分)

又△ABC的面积为,

所以bcsin A=×bc=,

所以bc=6,②(10分)

由①②得(b+c)2=25,所以b+c=5.(12分)

19.解析　如图所示,设∠ACD=α,∠CDB=β.

在△CBD中,由余弦定理得cos β===-,

∴sin β==.(4分)

∴sin α=sin(β-60°)=sin βcos 60°-sin 60°·cos β=×-×=.(8分)

在△ACD中,由=

得AD==15(千米).

∴这人还要走15千米可到达城A.(12分)

20.解析　(1)∵m∥n,

∴2acos C-bcos C-ccos B=0,(2分)

由正弦定理,得2sin Acos C-(sin Bcos C+sin Ccos B)=0,

∴2sin Acos C-sin(B+C)=0,

∴2sin Acos C-sin(π-A)=0,

∴2sin Acos C=sin A,(4分)

∵0<A<π,∴sin A≠0,∴cos C=,

∵0<C<π,∴C=.(6分)

(2)由(1)知A+B=π-C=,

∴B-=-A,A∈,(8分)

∴y=sin A+sin

=sin A+cos A

=2sin,(10分)

∵0<A<,∴<A+<,

∴当A+=,即A=时,y有最大值2.(12分)

21.解析　(1)在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=16-8·cos A,(2分)

在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=8-8cos C,(4分)

所以16-8cos A=8-8cos C,

所以cos A-cos C=1.(6分)

(2)依题意知=AB2·AD2sin2A=12-12cos2A,=BC2·CD2sin2C=4-4cos2C,(8分)

所以+=12-12cos2A+4-4cos2C

=16-4(cos C+1)2-4cos2C

=-8cos2C-8cos C+12

=-8+14,(10分)

因为2-2<BD<4,

所以8-8cos C=BD2∈(16-8,16).

解得-1<cos C<-1,

所以当cos C=-时,

+有最大值14.(12分)

22.解析　(1)由题图可得

S四边形ADCB=S△BOC+S△COD+S△DOA

=sin θ+sin+sin

=sin+,(3分)

∵0<θ<,∴<θ+<,

当θ+=,即θ=时,郁金香的种植面积最大,最大为.(6分)

(2)由题意知θ∈.

在△BOC中,由余弦定理得BC==2sin,

易证得△BOC≌△COD,∴∠BOC=∠COD=θ,

在△DOA中,由余弦定理得DA==2cos θ,

∴l=4sin+2cos θ,(8分)

令t=sin,∵0<θ<,∴0<<,∴t∈,则cos θ=1-2sin2=1-2t2,

∴l=4t+2(1-2t2)=-4t2+4t+2

=-4+3,(10分)

∵0<t<,

∴当t=,即θ=时,l取得最大值3.

故当θ=时,栈道的总长l最大,最大值为3.(12分)