北师大版七年级下册第一章 整式的乘除2 幂的乘方与积的乘方随堂练习题

第2练 幂的乘方与积的乘方（拔尖）

1．计算（﹣9）3×（﹣）6×（1+）3＝　　．

【分析】根据幂的乘方的性质都化成指数是3的幂相乘，再根据积的乘方的性质的逆用计算即可．

【详解】解：（﹣9）3×（﹣）6×（1+）3，

＝（﹣9）3×[（﹣）2]3×（）3，

＝[（﹣9）××]3，

＝（﹣6）3，

＝﹣216．

2．比较3555，4444，5333的大小．

【分析】由于3个幂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111，所以逆用幂的乘方的运算性质，可将3个幂都转化为指数是111的幂的形式，然后只需比较它们的底数即可．

【详解】解：∵3555＝35×111＝（35）111＝243111，

4444＝44×111＝（44）111＝256111，

5333＝53×111＝（53）111＝125111，

又∵256＞243＞125，

∴256111＞243111＞125111，

即4444＞3555＞5333．

3．已知5a＝2b＝10，求+的值．

【分析】想办法证明ab＝a+b即可．

【详解】解：∵5a＝2b＝10，

∴（5a）b＝10b，（2b）a＝10a，

∴5ab＝10b，2ab＝10a，

∴5ab•2ab＝10b•10a，

∴10ab＝10a+b，

∴ab＝a+b，

∴+＝＝1，

4．已知x＝3﹣q，y﹣1＝21﹣p，z＝4p•27﹣q，用x，y表示z的代数式．

【分析】由于z＝4p•27﹣q＝（22）p•（33）﹣q＝（2p）2•（3﹣q）3，题目要求用x，y表示z，又x＝3﹣q，那么关键是用y的代数式表示2p．由y﹣1＝21﹣p，根据负整指数幂的意义，可知2p＝2y．

【详解】解：由y﹣1＝21﹣p，

得，

所以2p＝2y．

z＝4p•27﹣q＝（22）p•（33）﹣q＝（2p）2•（3﹣q）3＝（2y）2•x3＝4x3y2．

5．基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！

①如果2×8x×16x＝222，求x的值；                      

②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．

【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x＝222，得出1+7x＝22，求解即可；

②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x＝4，求解即可．

【详解】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，

∴1+7x＝22，

∴x＝3；

②∵2x+2+2x+1＝24，

∴2x（22+2）＝24，

∴2x＝4，

∴x＝2．

6．已知2a•5b＝2c•5d＝10，求证：（a﹣1）（d﹣1）＝（b﹣1）（c﹣1）．

【分析】由2a•5b＝10，首先把10转化为2×5的形式，据同底数幂的除法，底数不变指数相减可以得到一个关于指数ab等于1的等式，根据等式乘方原则等式两边同时乘方d﹣1等式仍成立；同理可得到一个关于指数c、d的等于1等式，根据等式乘方原则等式两边同时乘方b﹣1等式仍成立．两个等式联立相等，即可得到结论．

【详解】证明：∵2a•5b＝10＝2×5，

∴2a﹣1•5b﹣1＝1，

∴（2a﹣1•5b﹣1）d﹣1＝1d﹣1①

同理可证：（2c﹣1•5d﹣1）b﹣1＝1b﹣1②

由①②两式得2（a﹣1）（d﹣1）•5（b﹣1）（d﹣1）＝2（c﹣1）（b﹣1）•5（d﹣1）（b﹣1），

即2（a﹣1）（d﹣1）＝2（c﹣1）（b﹣1），

∴（a﹣1）（d﹣1）＝（b﹣1）（c﹣1）．

7．阅读下列材料：

若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a　　b（填“＜”或“＞”）．

解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，

所以a＞b．

详解下列问题：

（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 　　

A．同底数幂的乘法

B．同底数幂的除法

C．幂的乘方

D．积的乘方

（2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．

【分析】（1）根据幂的乘方进行详解即可；

（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．

【详解】解：∵a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，

所以a＞b，故答案为：＞；

（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方，故选C；

（2）∵x63＝（x7）9＝29＝512，y63＝（y9）7＝37＝2187，2187＞512，

∴x63＜y63，

∴x＜y．

8．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．

（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　　，D（16）＝　　．

（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．

根据运算性质，计算：

①若D（a）＝1，求D（a3）；

②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．

【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简．

【详解】解：（1）∵21＝2，

∴D（2）＝1，

∵24＝16，

∴D（16）＝4，

故答案为：1；4．

（2）①∵21＝a，

∴a＝2．

∴23＝23．

∴D（a3）＝3．

②D（15）＝D（3×5），

＝D（3）+D（5）

＝（2a﹣b）+（a+c）

＝3a﹣b+c，

＝（a+c）﹣（2a﹣b）

＝﹣a+b+c．

D（108）＝D（3×3×3×2×2），

＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2）

＝3×D（3）+2×D（2）

＝3×（2a﹣b）+2×1

＝6a﹣3b+2．

，

＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2）

＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）]

＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）]

＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1]

＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2

＝5a﹣3b﹣c﹣2，