初中北师大版2 幂的乘方与积的乘方课时练习

第1讲  幂的运算

知识点1 同底数幂的乘法

1．同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

（m，n是正整数）

（2）推广：（m，n，p都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

【典例】

例1（2020秋•浦东新区月考）（a﹣b）2•（b﹣a）3•（b﹣a）（结果用幂的形式表示）

【方法总结】

本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

例2（2020春•张家港市校级月考）若（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则求m+n的值．

【方法总结】

本题考查了同底数幂的乘法，难度不大，关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【随堂练习】

1．（2020春•赫山区期末）若9×32m×33m＝322，则m的值为______．

2．（2020秋•大石桥市期中）若2x+1＝16，a5•（ay）3＝a11，则x+y＝______．

知识点2 幂的乘方与积的乘方

1．幂的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

（am）n=amn（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

2．积的乘方

（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

（ab）n=an•bn（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

【典例】

例1（2020秋•西峰区期末）计算：（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3．

【方法总结】

本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

例2（2020秋•卧龙区期中）若x2n＝﹣2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．

【方法总结】

本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．

例3（2020秋•浦东新区月考）已知（x3）n+1＝（xn﹣1）4•（x3）2，求（﹣n2）3的值．

【方法总结】

本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•武都区期末）______．

2．（2020秋•大石桥市期中）完成下列各题．

（1）已知（9a）2＝38，求a的值；

（2）已知am＝3，an＝4，求a2m+n的值为多少．

3．（2020秋•东莞市校级期中）①若am＝2，an＝3，求a2m+n的值．

②已知x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．

知识点3 同底数幂的除法

1．同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）

①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

2．零指数幂

零指数幂：a0=1（a≠0）

由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）

注意：00无意义．

3．负整数指数幂

负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）

注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

4.【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 

【典例】

例1（2020秋•大安市期末）若3x＝4，9y＝7，则3x﹣2y的值为______．

【方法总结】

本题考查了同底数的幂的除法运算，正确理解3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷9y是关键．

例2（2020秋•朝阳区期末）计算：a3•a+（﹣a2）3÷a2．

【方法总结】

本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的运算法则，幂的乘方的运算法则，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

例3 （2020秋•抚顺县期末）在﹣2，2﹣1，（﹣2）0这3个数中，最大的数是______．

【方法总结】

此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

例4（2020秋•河南期末）黄种人头发直径约为85微米，已知1纳米＝10﹣3微米，数据“85微米”用科学记数法可以表示为（　　）

A．8.5×10﹣3纳米 B．8.5×103纳米 

C．8.5×104纳米 D．8.5×10﹣4纳米

【方法总结】

此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

例5 （2020春•天宁区期中）若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c，d，则a、b、c、d的大小关系是（　　）

A．a＜b＜d＜c B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b

【方法总结】

此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•沙河口区期末）在2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件”．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在0.1微米左右，0.1微米等于0.000001米，数字0.000001用科学记数法表示为是（　　）

A．1×10﹣7 B．1×10﹣6 C．1×10﹣5 D．0.1×10﹣5

2．（2020秋•农安县期末）已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．

（1）求（5a）2的值．

（2）求5a﹣b+c的值．

（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为______．

3．（2020秋•安溪县期中）已知am＝3，an＝6，求a3m﹣2n的值．

4．（2020秋•乌苏市期末）计算：20190﹣（）﹣2＝______．

5．（2020春•海陵区校级期末）计算：

（1）（）﹣1+（﹣2）3×（π﹣2）0；

（2）（﹣a2）3﹣a2•a4+（﹣2a4）2÷a2．

     综合运用

1．（2020秋•路南区期中）若2m•2n＝32，则m+n的值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

2．（2020春•兴化市期中）计算：．

3．（2020春•太仓市期中）已知a6＝2b＝84，且a＜0，求|a﹣b|的值．

4．（2020•硚口区模拟）计算：a2a4﹣a8÷a2+（3a3）2．

5．（2020•武昌区模拟）计算：（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x

6．（2020春•龙泉驿区期中）（1）已知am＝2，an＝3．求am+n的值；

（2）已知n为正整数，且x2n＝7．求7（x3n）2﹣3（x2）2n的值．

7．（2020春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．

（1）计算下列各对数的值：log24＝______；log216＝______；log264＝______．

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．