2022年湖北省黄冈市中考一模数学试题（word版含答案）

2022年春季九年级一模考试

数学试题

（考试时间：120分钟  满分：120分）

一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.一个数的相反数是它本身，则该数为（    ）

Α.0 B.1 C. D.不存在

2.2021年9月20日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球393000米，数据393000米用科学记数法表示为（    ）

A.米 B.米 C.米 D.米

3.在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A. B. C. D.

4.下列各式计算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5.如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方体搭成，它的主视图是（    ）

A. B. C. D.

6.五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中的信息，下列结论错误的是（    ）

A.本次抽样调查的样本容量是5000

B.扇形统计图中的m为10%

C.若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人

D.样本中选择公共交通出行的有2400人

7.如图，是的外接圆，，，于点D且，则的半径为（    ）

A. B.4 C. D.

8.如图，正方形的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为.点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9.如果有意义，那么m能取的最小整数是______.

10.一个正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是______.

11.为庆祝建党100周年，某校举行“庆百年红歌大赛”.七年级5个班得分分别为85，90，88，95，92，则5个班得分的中位数为______分.

12.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______.

13.如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，若，则线段的长为______.

14.如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为______（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）

15.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，...，分别记为，，，，...，那么的值是______.

16.如图，正方形的边长为4，在x轴上，在y轴上，点A在第二象限内，且，，点C为的中点，直线交x轴于点F，过点C作于点C，交x轴于点E，点P是直线上的一个动点，当点P的坐标为______时，有最小值.

三、解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）计算：.

18.（7分）已知：如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F、G，.

（1）求证：；（3分）

（2）连接，求证：.（4分）

19.（7分）在建党100周年之际，老红军谢某打算到学校进行一次党史宣讲活动，初步确定从A校、B校、C校、D校、E校中随机抽签选取.

（1）若这次党史宣讲准备选取一所学校，则恰好抽到A校的概率是______.（2分）

（2）若这次党史宣讲准备选取两所学校，请用画树状图的方法表示出所有可能，并求出所选取的两校恰好是A校和B校的概率.（5分）

20.（9分）一次函数和反比例函数的图象相交于，与x轴交于点C，连接，.

（1）请直接写出m的值为______，反比例函数的表达式为______；（2分）

（2）观察图象，请直接写出的解集；（3分）

（3）求的面积.（4分）

21.（8分）如图，是的直径，点C是上一点（与点A，B不重合），过点C作直线，使得.

（1）求证：直线是的切线.（3分）

（2）过点A作于点D，交于点E，若的半径为6，，求图中阴影部分（弓形）的面积.（5分）

22.（10分）如图，在中，，，D为边上的点，将绕D逆时针旋转120°得到.

（1）如图1，若.

①求证：；（3分）

②直接写出与的数量关系为______；（3分）

（2）如图2，D为边上任意一点，线段、、是否满足（1）中②的关系，请给出结论并证明.（4分）

23.（11分）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：

（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（3分）

（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢，为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？

最大利润是多少？（4分）

（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资.若A，B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？（4分）

24.（14分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线交于点M，与x轴交于点N.

（1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3分）

（3）D为的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程.（4分）

（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上、是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.（4分）

2022年春季九年级一模考试

数学参考答案

一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.A； 2.C； 3.B； 4.C； 5.C； 6.D；

7.B；

7.解：如图，连接，，

∵，∴，

∵，，∴，

∵，，∴，

∵，

在中，由勾股定理得：，

∵，∴，

∴的半径为4，

故选：B.

8.B； 解：（1）点P在上运动时，，如图，

∵正方形的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，

作交于点E，

则有，，

∴，，

∴的面积为：，

∴此时图象为抛物线开口方向向下；

（2）点P在上运动时，，如图，

∵正方形的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，

作交于点E，则有，，

∴，，

∴的面积为：，

∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；

综上，只有选项B的图象符合，

故选：B.

二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9.1； 10.8； 11.90； 12.1； 13.8； 14.米；

15.；

由题意得，，，，…，

∴，∴，

∴.

故答案为：.

16.；

∵C是的中点，∴，

∵四边形是正方形，∴，

在和中,

，∴，

∴，

∵，∴垂直平分，∴D、F关于直线对称，

∵，

∴，

∴，∴，

∴，即，解得，

∴，∴E点坐标为；

如图，连接交直线于点P，

∵点D与点F关于直线对称，∴，

∴，此时的值最小，

∵直线的解析式为，直线的解析式为，

由，解得，∴.故答案为.

三、解答题（共8小题，满分72分）

17.解：原式.

18.证明：（1）∵.∴，且，

∴，∴，

∵，∴，

∴，且，∴；

（2）∵，

∴，且，∴，

∴，

∵，∴，∴，∴，

∴.

19.解：（1）若这次调研准备选取一所学校，则恰好抽到A校的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图如图：

共有20种等可能的结果，所选取的两校恰好是A校和B校的结果有2种，

∴所选取的两校恰好是A校和B校的概率为.

20.解：（1）∵反比例函数的图象过点，

∴把，代入上式并解得.

∴反比例函数的表达式为.

∵点在的图象上，∴.

故答案为：，；

（2）根据图象可知，的解集为或；

（3）把，代入，

得，解得，

∴一次函数的表达式为：；

当时，，∴C点坐标为，

∴.

21.证明：连接.

∵，∴，，

∵AB为直径，∴，∴，

∵，∴，即，

∴，

∵为半径，∴直线是的切线.

（2）解：过点O作于F，连接.

∵，∴，∴，

由（1）得，∴，

又∵，∴，

∵，∴，

∴，且，

∴为等边三角形，即，

∴.

22.（1）①证明：如图1中，

∵，

∴，

∵

∴，，

∴，

由旋转得：，，

∴，∴.

②解：∵，

∴，，

∴

∵，

∴，∴.

故答案为：.

（2）能满足（1）中的结论.

理由：将绕点A顺时针旋转120°得到，使与重合，连接，，，设交于点J.

∵，，

∴，∴，∴，

∵，∴，

∴，

同法可证，，，

∵，∴，

∵，，∴，

∵，∴，

在中，，

∵，∴.

23.解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，

根据题意得：，解得：.

答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；

（2）设超市应将B型水杯降价m元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意，

得：

，

∴当时，W取得最大值，最大值为405元，

答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；

（3）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，

依题意，得：，

∵捐款后所得的利润始终不变，

∴w值与a值无关，

∴，解得：，

∴，

答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元.

24.解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为、、，

设抛物线的表达式为，则，解得，

故抛物线的表达式为；

（2）存在，理由：

当为直角时，

则以P、C、M为顶点的三角形与相似时，则轴，

则点的坐标为；

当为直角时，

在中，设，则，则，，

在中，，

则，同理可得，，

由点B、C的坐标得，，则，

在中，，

则，

则，

故点P的坐标为，

故点P的坐标为或；

（3）∵D为的中点，则点，

作点C关于函数对称轴的对称点，作点D关于x轴的对称点，

连接交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，

理由：G走过的路程为最短，

由点、的坐标得，直线的表达式为，

对于，当时，解得，当时，，

故点E、F的坐标分别为、；

G走过的最短路程为；

（4）存在，理由：

①当点Q在y轴的右侧时，

设点Q的坐标为，

故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，

∵，，

∴，

∵，，

∴，∴，

即，解得（不合题意的值已舍去），

故点Q的坐标为；

②当点Q在y轴的左侧时，

同理可得，点Q的坐标为.

综上，点Q的坐标为或