2022年湖北省黄冈市中考数学一模试卷

2022年湖北省黄冈市中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 一个数的相反数是它本身，则该数为

A.  B.  C.  D. 不存在

2. 年月日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球米，数据米用科学记数法表示为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3. 在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列各式计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方体搭成，它的主视图是

A. B.
C. D.
 

6. 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图尚不完整，根据图中的信息，下列结论错误的是

A. 本次抽样调查的样本容量是
B. 扇形统计图中的为
C. 若五一期间观光的游客有万人，则选择自驾方式出行的大约有万人
D. 样本中选择公共交通出行的有人

7. 如图，是的外接圆，，，于点且，则的半径为

A.     B.
C.     D.

8. 如图，正方形的边长为，动点的运动路线为，动点的运动路线为点与以相同的均匀速度分别从，两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止设点运动的路程为，的面积为，则随变化的函数图象大致是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 如果有意义，那么能取的最小整数是______．
10. 一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______．
11. 为庆祝建党周年，某校举行“庆百年红歌大赛”七年级个班得分分别为，，，，，则个班得分的中位数为______ 分
12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
13. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则线段的长为______．

14. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为______ 点，，，都在同一平面上，结果保留根号
15. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定规律性，从图中取一列数：，，，，，分别记为，，，，，那么的值是______ ．

16. 如图，正方形的边长为，在轴上，在轴上，点在第二象限内，且，，点为的中点，直线交轴于点，过点作于点，交轴于点，点是直线上的一个动点，当点的坐标为______时，有最小值．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

17. 计算：．
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共66分）

18. 已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，．
    求证：∽；
    联结，求证：．

19. 在建党周年之际，老红军谢某打算到学校进行一次党史宣讲活动，初步确定从校、校、校、校、校中随机抽签选取．
    若这次党史宣讲准备选取一所学校，则恰好抽到校的概率是______．
    若这次党史宣讲准备选取两所学校，请用画树状图的方法表示出所有可能，并求出所选取的两校恰好是校和校的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 一次函数和反比例函数的图象的相交于，，与轴交于点，连接，．
    请直接写出的值为______，反比例函数的表达式为______；
    观察图象，请直接写出的解集；
    求的面积．

21. 如图，是的直径，点是上一点与点，不重合，过点作直线，使得．
    求证：直线是的切线．
    过点作于点，交于点，若的半径为，，求图中阴影部分弓形的面积．
    
     

22. 如图，在中，，，为边上的点，将绕逆时针旋转得到．
    如图，若．
    求证：；
    直接写出与的数量关系为______ ；
    如图，为边上任意一点，线段、、是否满足中的关系，请给出结论并证明．

23. 某超市从厂家购进、两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：

求、两种型号的水杯进价各是多少元？
在销售过程中，型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢为了增大型水杯的销售量，超市决定对型水杯进行降价销售，当销售价为元时，每天可以售出个，每降价元，每天将多售出个，请问超市应将型水杯降价多少元时，每天售出型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
第三次进货用元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利元，售出一个型水杯可获利元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？






 

24. 如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，，抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点．
    求抛物线的解析式；
    若点是对称轴上的一个动点，是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
    为的中点，一个动点从点出发，先到达轴上的点，再走到抛物线对称轴上的点，最后返回到点要使动点走过的路程最短，请找出点、的位置，写出坐标，并求出最短路程．
    点是抛物线上位于轴上方的一点，点在轴上，是否存在以点为直角顶点的等腰？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是，
一个数的相反数是它本身，则该数为．
故选：．
根据的相反数是解答．
本题考查了相反数的定义，是基础题，要注意的特殊性．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定与的值是解题的关键．
根据科学计数法的形式，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
【解答】
解：米米．
故选C．  

3.【答案】
 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、原式，错误；
B、原式，错误；
C、原式，正确；
D、原式，错误．
故选：．
A、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，以及单项式乘单项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】】解：从正面看，共有四列，从左到右每列的正方形的个数分别为：、、、，
故选：．
根据主视图是从正面看到的图象判定则可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

6.【答案】
 

【解析】解：本次抽样调查的样本容量是，此选项正确，不符合题意；
B.扇形统计图中的为，此选项正确，不符合题意；
C.若五一期间观光的游客有万人，则选择自驾方式出行的有万人，此选项正确，不符合题意；
D.样本中选择公共交通出行的约有人，此选项错误，符合题意；
故选：．
根据自驾人数及其对应的百分比可得样本容量，根据各部分百分比之和等于可得其它的值，用总人数乘以对应的百分比可得选择公共交通出行的人数，利用样本估计总体思想可得选择自驾方式出行的人数．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体是解题的关键，另外注意学会分析图表．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，，

，
，
，，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
的半径为，
故选：．
连接，，根据圆周角定理得，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出，再利用勾股定理求出．
本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，利用圆周角定理构造出是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：点在上运动时，，如右图，
正方形的边长为，点与以相同的均匀速度分别从，两点同时出发，
作交于点，
则有，，
，，
的面积为：，
此时图象为抛物线开口方向向下；
点在上运动时，，如右图，
正方形的边长为，点与以相同的均匀速度分别从，两点同时出发，
作交于点，
则有，，
，，
的面积为：，
此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且随的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：．
分两种情况：点在上运动和点在上运动时；分别求出解析式即可．
本题主要考查动点问题的函数图象，正确的求出函数解析式是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由题意，可得，
解得：，
能取的最小整数是，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：条，
故答案为：．
根据多边形的外角和等于计算即可．
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：将这个班的得分重新排列为、、、、，
个班得分的中位数为分，
故答案为：．
将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

12.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，，
在中，，
，
，
在中，，
．
．
故答案为．
利用基本作图得到垂直平分，则，，再根据含度角的直角三角形三边的关系在中求出，接着在中求出，从而得到的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作已知线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了含度角的直角三角形三边的关系．
 

14.【答案】米
 

【解析】解：过点作于点，过点作于点．

由题意得，，，，．
在中，，
，
即，
，
，
，
四边形是矩形，
．
在中，，
．
，
米．
答：教学楼高约米．
故答案为：米．
过点作于点，过点作于点根据题意可得，，，再根据四边形是矩形知进而可得教学楼的高度．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，，，，
，
，
．
故答案为：．
首先根据题意得出的关系式，然后用“裂项法”将裂成，即可求出结果．
本题考查规律型：数字的变化规律．找到变化规律然后用“裂项法”求解是解本题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：是的中点，
，
四边形是正方形，
，
≌，
，
，
垂直平分，
、关于直线对称，
，
，
，
∽，
，
即，
解得，
，
点坐标为；
如图，连接交直线于点，
点与点关于直线对称，
，
，此时的值最小，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，
解得

故答案为：
由条件可求得点坐标，可求得的长，利用∽可求得的长，则可求得的长，可求得点坐标；易知可知点与关于直线对称，连接交直线于点，则可知点即为满足条件的动点，求出直线、直线的解析式构建方程组确定点坐标即可．
本题为一次函数的综合应用，正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质等知识．
 

17.【答案】解：原式
．
 

【解析】根据负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了实数混合运算，特殊角三角函数值，正确化简各数是解决本题的关键．
 

18.【答案】证明：．
，且，
∽，
，
，
，
，且，
∽；
∽，
，且，
∽，
，
，
，
，
．
 

【解析】通过证明∽，可得，由平行线的性质可得，且，可证∽；
由相似三角形的性质可得，且，可证∽，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】
 

【解析】解：若这次调研准备选取一所学校，则恰好抽到校的概率是，
故答案为：；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，所选取的两校恰好是校和校的结果有种，
所选取的两校恰好是校和校的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，所选取的两校恰好是校和校的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】 
 

【解析】解：反比例函数的图象过点，
把，代入上式并解得．
反比例函数的表达式为．
点在的图象上，
．
故答案为：，；

根据图象可知，的解集为或；

把，代入，
得，解得，
一次函数的表达式为：；
当时，，
点坐标为，
．
把点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，把代入反例函数解析式，得出的值；
找出直线落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可；
把、的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式，再求出点坐标，然后根据的面积的面积的面积列式计算即可．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，三角形的面积，主要考查学生的计算能力．
 

21.【答案】证明：连接．

，
，，
为直径，
，
，
，
，即，
，
为半径，
直线是的切线．
解：过点作于，连接．

，
，
，
由得，
，
又，
，
，
，
，且，
为等边三角形，即，
．
 

【解析】连接，由直径所对的圆周角为直角，可得；利用等腰三角形的性质及已知条件，可求得，根据切线的判定定理可得结论．
过点作于，连接由，可得，从而可得的度数，进而判定为等边三角形，则的度数可得出；利用，可求得答案．
本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及扇形和三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图中，

，
，
，，
，
由旋转得：，，
≌，
．

解：≌，
，，
，
，
．
故答案为：．

能满足中的结论．
理由：将绕点顺时针旋转得到，使与重合，连接，，，设交于点．

，，
，
由旋转的性质可得，，，
，，
∽，
，
，
，
∽，
，
同法可证，，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
．
 

【解析】证明≌，可得结论．
利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
能满足中的结论．将绕点顺时针旋转得到，使与重合，连接，，，设交于点利用直角三角形度角的性质以及勾股定理解决问题即可．
本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理、旋转的性质、动点的运动路径问题等；解题关键是通过旋转变换构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

23.【答案】解：设种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元；
设超市应将型水杯降价元时，每天售出型水杯的利润为元，根据题意，
得：
，
当时，取得最大值，最大值为元，
答：超市应将型水杯降价元时，每天售出型水杯的利润达到最大，最大利润为元；
设总利润为元，购进种水杯个，
依题意，得：，
捐款后所得的利润始终不变，
值与值无关，
，解得：，
，
答：捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元．
 

【解析】设种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元，根据两次进货情况表，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据：利润每台实际售价每台进价销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
设总利润为元，购进种水杯个，根据总利润单个利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，由值与值无关可得出的值，再代入值即可求出的值．
本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得，点、、的坐标分别为、、，
设抛物线的表达式为，则，解得，
故抛物线的表达式为；

存在，理由：
当为直角时，

则以、、为顶点的三角形与相似时，则轴，
则点的坐标为；
当为直角时，
在中，设，则，则，，
在中，，
则，
同理可得，，
由点、的坐标得，，则，
在中，，
则，
则，
故点的坐标为，
故点的坐标为或；

为的中点，则点，
作点关于函数对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，
连接交轴于点，交函数的对称轴于点，则点、为所求点，

理由：走过的路程为最短，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
对于，当时，解得，当时，，
故点、的坐标分别为、；
走过的最短路程为；

存在，理由：
设点的坐标为，
当在第一象限时，存在等腰，如图所示：

过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，
，，
，
，，
≌，
，
即，解得不合题意的值已舍去，
故点的坐标为
当在第二象限时，存在等腰，如图所示：

过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，
四边形是矩形，
，
等腰直角三角形，
，
，，
，
≌，
，
即，解得不合题意的值已舍去，
故点的坐标为
综上所述，当以点为直角顶点的等腰，点
或
 

【解析】用待定系数法即可求解；
当为直角时，则轴，即可求解；当为直角时，用解直角三角形的方法求出，即可求解；
作点关于函数对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交函数的对称轴于点，则点、为所求点，进而求解；
考虑在第一象限和在第二象限两种情况进行求解。
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．