八年级下册第八章 一元二次方程5 一元二次方程根与系数的关系课后作业题

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《8-5一元二次方程根与系数的关系》

同步练习题（附答案）

一．选择题

1．关于x的一元二次方程x2﹣5mx+6m2＝0（m＞0）的两实数根分别为x1，x2，若x12+x22＝52，则实数m的值为（　　）

A． B．1 C．2 D．4

2．方程3x2+7x﹣8＝0的两个根是x1，x2，根据求根公式，则x1+x2和x1•x2分别为（　　）

A．，﹣3 B．， C．﹣7，﹣8 D．，

3．若实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1•x2＝2，则下列一元二次方程以x1，x2为根的是（　　）

A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0

4．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

5．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的一个根是1，则另一个根是（　　）

A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4

二．填空题

6．若x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式x1（x2﹣1）﹣x2的值为 　   　．

7．已知关于x的一元二次方程x2+k﹣6＝0（k是常数）的一个根是2，则方程的另一个根是 　   　．

8．已知x＝1是方程x2﹣ax+6＝0的一个根，则a＝　   　，另一个根为 　   　．

9．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是 　   　．

10．已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则＝　   　．

三．解答题

11．已知：关于关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的一根是另一根的2倍，求k的值．

12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2＝0有两个实数根x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）当x1（1+x2）+x2＝0，求m的值．

13．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）请问是否存在实数k，使得x1+x2＝1﹣x1x2成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

14．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1+x2）2＝18+4x1x2，求实数m的值．

15．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k＝0有两个实数根x1，x2．若x1+x2＝x1x2+2，求k的值．

16．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．

17．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22﹣x1x2＝9，求m的值．

18．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．

（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．

19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个实数根x1，x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．

20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）若＝4m，求m的值

参考答案

一．选择题

1．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5mx+6m2＝0的两实数根分别为x1，x2，

∴x1+x2＝5m，x1x2＝6m2，

∵x12+x22＝52，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝52，

∴（5m）2﹣2×6m2＝52，

解得m＝±2（负值舍去）．

故选：C．

2．解：∵方程3x2+7x﹣8＝0的两个根是x1，x2，

∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣．

故选：B．

3．解：∵x1+x2＝3，x1x2＝2，

∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2﹣3x+2＝0．

故选：A．

4．解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，

∴m2+m＝2021，m+n＝﹣1，

∴m2+2m+n＝（m2+m）+（m+n）＝2021+（﹣1）＝2020．

故选：B．

5．解：∵a＝1，b＝﹣4，

∴方程的两根之和＝﹣＝﹣＝4，

∴方程的另一根＝4﹣1＝3．

故选：A．

二．填空题

6．解：根据题意得x1+x2＝3，x1•x2＝2，

则x1（x2﹣1）﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝2﹣3＝﹣1，

故答案为：﹣1．

7．解：∵一元二次方程x2+k﹣6＝0，

∴x1+x2＝0，

∵方程的一个根是2，

∴方程的另一个根为﹣2，

故答案为：﹣2．

8．解：将x＝1代入原方程得1﹣a+6＝0，

解得：a＝7．

方程的另一个根为6÷1＝6．

故答案为：7；6．

9．解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝3，x1•x2＝1，

∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝32﹣2×1＝7．

故答案为：7．

10．解：原式＝＝，

∵x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，

∴x1+x2＝4，x1x2＝2，

∴原式＝＝2，

故答案为：2．

三．解答题

11．（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（k+3）2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2．

∵（k﹣1）2≥0，

∴Δ≥0，

∴无论m为何值，方程总有两个实数根；

（2）解：设x1、x2一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0两个根，x1＝m，x2＝2m，

∴，

解得：k＝0或k＝3．

∴k的值为0或3．

12．解：（1）Δ＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4m2

＝4m2﹣12m+9﹣4m2

＝﹣12m+9，

∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2＝0有两个实数根，

∴△＝﹣12m+9≥0，

∴m≤；

（2）由题意可得x1+x2＝2m﹣3，x1x2＝m2，

又∵x1（1+x2）+x2＝0，

∴（x1+x2）+x1x2＝0，

∴m2+2m﹣3＝0，

∴m1＝﹣3，m2＝1，

又∵m≤，

∴m＝﹣3．

13．解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，即﹣8k+4≥0，

解得：k≤，

∴k的取值范围为k≤．

（2）假设存在实数k，使得x1+x2＝1﹣x1x2成立．

∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝2（k﹣1），x1•x2＝k2，

又∵x1+x2＝1﹣x1x2，即2（k﹣1）＝1﹣k2，

整理得：k2+2k﹣3＝0，

解得：k1＝﹣3，k2＝1．

又∵k≤，

∴k＝﹣3，

∴假设成立，即存在实数k，使得x1+x2＝1﹣x1x2成立，此时k的值为﹣3．

14．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，

解得：m≤，

∴实数m的取值范围为m≤．

（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根，

∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2．

∵（x1+x2）2＝18+4x1x2，

∴[﹣2（m﹣1）]2＝18+4m2，

∴4m2﹣8m+4＝18+4m2，

∴﹣8m＝14，

解得：m＝﹣，

∴实数m的值为﹣．

15．解：∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k＝0的两个实数根为x1、x2，

∴x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k．

∵x1+x2＝x1x2+2，

∴2（k﹣1）＝k+2，

解得：k＝4．

当k＝4时，方程为x2﹣6x+4＝0，

此时Δ＝（﹣6）2﹣4×1×4＝36﹣16＝20＞0，

∴k＝4符合题意．

16．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，

解得m≤；

（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，

∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，

∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，

∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1，

∴m2﹣2m﹣3＝0，

解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）．

故m的值是﹣1．

17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m＝0有实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m）＝4m+1≥0，

解得：m≥﹣．

（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m＝0的两个根分别为x1，x2，

∴x1+x2＝2m﹣1，x1•x2＝m2﹣2m，

∵x12+x22﹣x1x2＝9，

∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝9，即（2m﹣1）2﹣3（m2﹣2m）＝9，

整理得：m2+2m+1＝9，

∴（m+1）2＝9，

解得：m1＝﹣4，m2＝2，

∵m≥﹣．

∴m的值为2．

18．解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，

∴b2﹣4ac＝k2+8，

∵不论k取何实数，k2≥0，

∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，

∴不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的另一个根为β，

∴2β＝﹣2，

∴β＝﹣1，

∴另一个根为﹣1．

19．解：（1）Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2

＝4m2﹣12m+9﹣4m2

＝﹣12m+9，

∵△≥0

∴﹣12m+9≥0，

∴m≤；

（2）由题意可得

x1+x2＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，x1x2＝m2，

又∵x1+x2＝6﹣x1x2，

∴3﹣2m＝6﹣m2，

∴m2﹣2m﹣3＝0，

解得m1＝3，m2＝﹣1，

又∵m≤，

∴m＝﹣1．

20．解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根，

∴，

解得：m＞﹣1且m≠0．

（2）∵x1，x2是一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0的实数根，

∴x1+x2＝，x1x2＝．

∵＝＝4m，即＝4m，

∴m2﹣m﹣2＝0，

解得：m1＝﹣1，m2＝2．

又∵m＞﹣1且m≠0，

∴m＝2．