高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率教学设计

第十章 概率

10.3.1频率的稳定性

一、教学目标

1．通过实验能让学生理解当试验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率.

2．通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.

3.通过对频率的稳定性的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.理解频率和概率的区别和联系.

2. 大量重复实验得到频率的稳定值的分析.

三、教学过程：

（1）创设情景

 阅读课本，完成下列填空：

     一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会_________，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐_________事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．

（2）新知探究

问题1:小组合作探究概率与频率的区别与联系

学生回答，教师点拨并提出本节课所学内容

（3）新知建构

概率与频率的区别：频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小

概率与频率的联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率

（4）数学运用

例1.给出下列说法：

①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度；

②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；

③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；

④频率就是概率．

其中正确的是（    ）

A．① B．①②④ C．①② D．③④

【答案】C

【解析】对于①，根据频数和频率的定义知，频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度，所以①正确；

对于②，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数，所以②正确；

对于③，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，所以③错误；

对于④，频率是一个实验值，是随实验结果变化的，概率是稳定值，是不随实验结果变化的，所以④错误．

综上知，正确的命题序号是①②．故选：C．

变式训练1:（多选）下列说法正确的有（    ）

A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；

B.一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；

C.任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；

D.若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.

【答案】AB

【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴A正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴B正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴C错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴D错误
∴说法正确的有两个，故选:AB．

变式训练2:（多选）给出下列四个命题,其中正确的命题有(    )

A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是

B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是

D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率

【答案】CD

【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;

对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;

对于C,抛掷骰子次,得点数是的结果有次,则出现点的频率是,符合频率定义,故C正确;

对于D,频率是概率的估计值,故D正确.  故选:CD.

例2.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:

A．猜“是奇数”或“是偶数”

B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”

C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”

请回答下列问题:

(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?

(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?

(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.

【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;

 (3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”

【解析】 (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.

(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.

(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.

变式训练:某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.

（1）求x，y的值；

（2）求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.

【答案】（1）x＝15，y＝20；（2）0.3.

【解析】（1）由已知得

所以x＝15，y＝20.

（2）设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，

事件A1为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，

事件A2为“一位顾客一次购

物的结算时间为3分钟”，

所以P（A）＝P（A1）+P（A2）＝+＝0.3.

例3:2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：

（Ⅰ）求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.

【答案】（Ⅰ），平均数为52.2；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由题意知，

∴，

年龄平均数.

（Ⅱ）1000人中年龄不小于60岁的人有380人，

所以年龄不小于60岁的频率为，

用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为.

四、小结：

1．频率的稳定性

2.概率与频率的区别：频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小

概率与频率的联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率

五、作业：习题10.3.1