人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示教学设计

第七章 复数

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

一、教学目标

1.会进行复数三角形式的乘除运算； 

2.了解复数乘、除运算的三角表示的几何意义;

3.通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生直观想象、数学运算、数学建模等数学素养.

二、教学重难点

1.复数三角形式的乘除运算;

2.复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解．

课前准备：阅读课本思考并完成以下问题

1.复数三角形式的乘、除运算如何进行？

2.复数三角形式的乘、除运算的三角表示的几何意义是什么？

三、教学过程：

1、创设情境：

问题1：类比复数的乘法运算，试推导复数三角形式的乘法运算.

生答:复数代数形式的乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)

＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

所以设的三角形式分别是：

    简记为 ：模数相乘，幅角相加

问题2：类比复数的乘法运算的几何意义，试推导复数三角形式的乘法运算的几何意义.

生答:建立直角坐标系, 以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角,r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角,引入向量,把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．

2、建构数学 

复数三角形式的乘法运算:

设的三角形式分别是：

    简记为 ：模数相乘，幅角相加

几何意义：

把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．

问题3：类比复数三角形式的乘法运算及其几何意义，试推导复数三角形式的除法及其几何意义.

复数三角形式的除法

设的三角形式分别是：

简记为 ：模数相除，幅角相减

几何意义：

把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．

3、数学应用

例1.已知i为虚数单位，，，求,请把结果化为代数形式,并作出几何解释.

解:，

.

首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的倍，绕点O按逆时针方向旋转这样得到一个长度为4，辐角为的向量,即为积所对应的向量.

变式训练1.计算下列各式，并作出几何解释：

（1）；

（2）；

【答案】（1）；（2）

解:（1）原式.

几何解释：设，

作与对应的向量，然后把向量

绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长

为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的

向量，则即为积所对应的向量.

(2)原式

.

几何解释：设，

作与对应的向量，然后把向量

绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短

为原来的，得到一个长度为、辐角为 的

向量，则即为积所对应的向量.

例2 计算下列各式：

(1);

(2).

解:(1)

，

(2)

变式训练1.计算下列各式

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）

变式训练2.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.（用代数形式表示）.

【答案】

【解析】由题意得.

例3.把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.

解:由复数乘法的几何意义得,

又

的辐角主值为

四、小结：

1.复数三角形式的乘法运算及其几何意义:

      简记为 ：模数相乘，幅角相加

2.复数三角形式的除法及其几何意义

简记为 ：模数相除，幅角相减

五、作业：习题7.3