4.1 指数与指数幂的运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

指数与指数幂的运算【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质1．整数指数幂的概念2．运算法则（1）；                 （2）； （3）；      （4）.要点二、根式的概念和运算法则1．n次方根的定义：若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.2．两个等式（1）当且时，；（2）要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 要点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：（1）（2）（3）要点四、有理数指数幂的运算1．有理数指数幂的运算性质(1) (2) (3)当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.2.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.    【典型例题】类型一、根式例1.计算：（1）；      （2）.【解析】（1）=+-==||+||-||=+-（）=2        （2）  =           =           =举一反三：【变式1】化简：（1）；【答案】（1）；   （2）【答案】（2）    类型二、指数运算、化简、求值例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）。【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。（1）（2）；（3）；（4）===== 举一反三：【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1）；          （2）【答案】（1）；      （2）  【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1）；  （2）；  （3）；  （4）【解析】（1）=； （2）；（3）；（4）== 例3.计算：(1)；(2)(3)。【解析】(1)原式=；   (2)原式=；   (3)原式=-5+6+4--(3-)=2；举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)；　　(2).  【解析】(1)原式=；(2)原式. 例4.化简【解析】原式.  举一反三：【变式1】化简下列各式.（1）；   （2）；   （3）.【解析】（1）原式；（2）（3） 例5．已知，求的值.【解析】，，    ，== 举一反三：【变式1】已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3   【变式2】已知，求及的值．【解析】∵ ，∴ x＞0，则，则，∵ ，则，∴ ，∴ ． 例6．（1）已知，求的值．（2）化简【解析】（1），  ．    （2）