3.2.3 函数周期性与对称性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

函数周期性与对称性考点一：函数的周期性1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).(4).若，则T＝4a(a>0).      证明： ，           ∴. 考点二：函数的对称性（1）若，则关于对称（2）若，则关于对称（3）若，则关于对称（4）.函数的图像和函数的图像关于（y轴）对称.（5）.函数的图像和函数的图像关于对称.（6）.函数的图像和函数的图像关于对称.4. 两线对称型：函数关于直线、对称，则的周期为。证明：。5. 一线一点对称型 ： 函数关于直线及点对称，则的周期为。证明：，所以6. 两点对称型： 函数关于点、对称，则的周期为。证明：。注意：设，任意都有，且有个实根，则所有实根之和为.      1.若函数是定义在上周期为的奇函数，则.证明： 由函数的周期为可得：，因为函数为奇函数，   ，， 2.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则          .  3.设函数在定义域上总有，且当时，.则当时，求函数的解析式；    4.设函数是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当 时，.
（1）.求证：函数恒有成立；
（2）.当时，求的解析式
（3）.计算 . 5. 设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函数，则时，             .  6.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ）   A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数   B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数   C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数   D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数 7. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（     ）   A.         B.         C.         D.  8. 已知偶函数满足，且当时，，则的值等于（     ）   A.         B.         C.         D.  9. 设为上的奇函数，且，若，   ，则的取值范围是           .  10. 函数对于任意实数满足条件，若，则等于（    ）   A.         B.         C.         D. 11． 函数满足是偶函数，又，为奇函数，则          .  12．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则=_____. 13. 已知定义在上的函数满足下列三个条件：   ① 对于任意的，都有；   ② 对于任意的，都有；   ③ 函数的图象关于轴对称。   则下列结论正确的是（     ）   A.         B.    C.         D.  14．定义在上的偶函数满足，且在   上是增函数，下面是关于的判断：   ①是周期函数；   ②的图象关于直线对称；   ③在上是增函数；   ④    其中正确的判断是             （把你认为正确的判断都填上）。15．定义在上的函数，对任意都有，当 时，，则________.16．已知是以2为周期的函数，且当时，，则     . 17．定义在上的函数满足，且当时，，则______. 18．设函数是周期为5的奇函数，当时，，则=     . 19．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则      . 20．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的图像关于直线x＝2对称，则a的值为       .