第二十五讲 不等式恒成立问题与能成立问题-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第二十五讲：不等式恒成立问题与能成立问题【学习目标】1．在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养． 【基础知识】不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故； 【考点剖析】考点一：二次函数型恒成立问题例1．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，原不等式可化为，对恒成立；当时，原不等式恒成立，需，解得，综上.故选：D 变式训练1：若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，即，此时恒成立，满足条件；当时，因为对任意实数都成立，所以，解得，综上可知，，故选：D. 变式训练2：不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A．  B． C．  D．【答案】C【详解】因为不等式对于任意的恒成立，所以函数对于任意的恒成立，当时，函数，满足题意；当时，结合二次函数性质易知，，解得，综上所述，实数的取值范围是，故选：C.变式训练3：设.若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）；【详解】由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于对于一切实数恒成立.所以.  考点二：二次函数型能成立问题例2．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．【答案】A【详解】不等式等价于存在，使成立，即 设 当时， 所以 .故选：A 变式训练1：若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．【答案】A【详解】解：关于的不等式在区间，上有解，在，上有解，即在，上成立；设函数，，，在，上是单调减函数，又，所以的值域为，，要在，上有解，则，即实数的取值范围为．故选：． 变式训练2：若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A．  B． C．  D．【答案】B【详解】因为不等式在上有解，所以不等式在上有解， 令，则，所以，所以实数的取值范围是故选：B 变式训练3：已知关于的不等式在上有解，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D．【答案】D【详解】不等式在上有解，在上有解，在单调递增，，.故选：D. 考点三：基本不等式型恒成立问题例3．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（    ） A． B． C． D．【答案】A【详解】已知正数、满足，可得，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.因此，实数的最大值为.故选：A. 变式训练1：已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围（    ） A．  B．  C．  D． 【答案】B【详解】因为恒成立，则，，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8，所以，即，解得：.故选：B 变式训练2：已知，，，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或  B．或 C．  D．【答案】C【详解】若恒成立，则，因为，当且仅当，即时取等号．所以所以，即，解得：．故选：C 变式训练3：已知正实数满足.（1）求的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1），所以，解得，当且仅当取等号，∴的最大值为.（2），当且仅当，取等号，∴，解得.即a的取值范围是.  考点四：变换主元例4．已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.【答案】【详解】由题意，因为当时，不等式恒成立，可转化为关于的函数，则对任意恒成立，则满足解得，即的取值范围为.故答案为：. 变式训练1：已知时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A．(-∞，2)∪(3，+∞)  B．(-∞，1)∪(2，+∞) C．(-∞，1)∪(3，+∞)  D．(1，3)【答案】C【详解】由题意，因为时，不等式恒成立，可转化为关于的函数，则对应任意恒成立，则满足，解得：或，即的取值范围为.故选：C 变式训练2：若不等式对任意成立，则的取值范围为（    ） A． B． C．  D．【答案】A【详解】由题得不等式对任意成立，所以，即，解之得或.故选：A 变式训练3：已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.【答案】【详解】由题意，因为当时，不等式恒成立，可转化为关于的函数，则对任意恒成立，则满足解得，即的取值范围为.故答案为：.  【当堂小结】1、结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．2、通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．3、转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 【过关检测】1、关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．  B． C． D．【答案】B【详解】解：①当时，则成立，故符合题意，②时，因为对任意恒成立，所以，不等式变为：，，所以：，综上：.故选：B. 2、已知不等式的解集为则的取值范围是（    ） A．  B． C． D．【答案】A【详解】因为不等式的解集为所以，解得，所以的取值范围是，故选：A. 3、不等式对一切实数都成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．【答案】C【详解】不等式可变形为由不等式对一切实数都成立，，即，解得所以实数a的范围是故选：C 4、已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．【答案】D【详解】由题知不等式,对一切恒成立所以当时, ,满足；当时，由二次函数性知，所以实数a的取值范围为：，故选:D 5、已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A．  B． C．  D．【答案】C【详解】因为不等式的解集为空集，所以不等式在上恒成立，当时：且解得：； 当时即，当时，不等式在上恒成立；当时，不等式在上不恒成立；综上：实数a的取值范围.故选：C. 6、若关于的不等式对一切的实数恒成立，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．【答案】D【详解】原不等式等价于对一切的实数恒成立，①当时，原不等式等价于对一切的实数恒成立，②当时，，解得．综上所述，实数的取值范围是，．故选：D． 7、已知函数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．  B． C．  D．【答案】B【详解】，即当时，不等式恒成立，；当时，，则令，则即，解得故选：B 8、若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．【答案】A【详解】∵正数满足，∴，，当且仅当，即，时，等号成立，∴，即对任意实数恒成立，∴，解得．故选：A． 9、（多选）对于正数，，且，若恒成立，则可以为（    ） A．3 B． C．2 D．1【答案】BCD【详解】因为对于正数，，满足， 所以恒成立化为，恒成立 ，又因为，，当时 等号成立，所以，选项BCD都符合题意，故选：BCD. 10、（多选）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D．2【答案】ACD【详解】，，即，，当且仅当，即时，等号成立，即， 解得：或，选项中满足条件的有ACD.故选：ACD 11、已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】因为、为两个正实数，由可得，因为，当且仅当时，等号成立.所以，，因此，实数的取值范围是.故答案为：. 12、已知，若不等式恒成立，则的最大值为__________．【答案】【详解】由题意，不等式恒成立，且，即为恒成立，即成立，由，当且仅当，即，取得等号，即有，则的最大值为.故答案为： 13、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【详解】解：因为正实数，满足，所以，所以；又因不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，则，因为，当且仅当时取等号，此时取得最小值 ，故．故答案为：． 14、，，且，不等式恒成立，则的范围为_______.【答案】【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时，取等号，因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以，故答案为： 15、若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________【答案】或【详解】解：因为，所以令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为故答案为： 16、对于，不等式恒成立的的取值范围是_____________【答案】【详解】，令，，当时，，则不成立；当时，，解得：或；当时，，解得：或；综上所述：.故答案为：. 17、已知.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【详解】（1）当时，，即 ， ，即，解得或，∴原不等式的解集为或.（2）当时恒成立，，即，设，当且仅当时等号成立，. 18、已知二次函数.（1）若在上单调递减，求实数的最小值；（2）存在，使得有解，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）【详解】（1）的对称轴为，开口向上，若在上单调递减，则，故的最小值为1；（2），即在有解，令，对称轴为，开口向上，当时，，解得，此时无解；当时，，解得，综上，. 19、设函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）由题意可知：方程的两根是，1所以解得（2）由得存在，成立，即使成立，又因为，代入上式可得成立.当时，显然存在使得上式成立；当时，需使方程有两个不相等的实根所以即解得或综上可知的取值范围是．