第二讲 集合的表示-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第二讲：集合的表示【学习目标】1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用;2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合． 【基础知识】一、集合的表示（1）列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．（3）Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．  【考点剖析】考点一：用列举法表示集合例1．用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于的非负偶数组成的集合；(2)小于的质数组成的集合；(3)方程的实数根组成的集合；(4)方程组的解集.解：(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1,3，所以C＝{－1,3}．(4)方程组的解为所以方程组的解集D＝{(3,1)}． 变式训练1：用列举法表示下列集合：(1)方程的所有实数解组成的集合；(2)直线与轴的交点所组成的集合；(3)由所有正整数构成的集合．解：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．(3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}． 考点二：用描述法表示集合文字描述；式子描述例2．用描述法表示下列集合：(1)不等式的解组成的集合；(2)被除余的正整数的集合；(3)；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.解：(1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．变式训练1：用描述法表示下列集合：(1)比大又比小的实数组成的集合；(2)不等式的所有解；(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．解：(1)可以表示成{x∈R|1<x<10}．(2)可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}．(3)可以表示成{(x，y)|x±y＝0}． 考点三：集合的表示综合例3．下列命题中正确的（   ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④  B．只有②和③ C．只有②  D．以上语句都不对【答案】C【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选：C.变式训练1：方程组的解集是（   ） A． B． C． D．【答案】D【详解】，两式相加可得，所以，将代入可得，所以，所以方程组的解集是，故选：D变式训练2：下列集合恰有个元素的集合是（   ） A．  B． C．  D．【答案】C【详解】不是集合；,,,所以选C. 变式训练3：已知集合，若，则实数的值为__________.【答案】或【详解】因为，则或或，当时，，，符合题意；当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，或（舍）当时，，符合题意；综上所述：或，故答案为：或 考点四：元素个数相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）例4．设集合，则中元素的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．故选：B．变式训练1：已知集合，，则集合中元素的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】因为集合，，所以集合，故选：C变式训练2：设集合，则中元素的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】因为，所以当时，由可得：；当时，由可得：；当时，由可得：，当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，所以,因此中元素的个数为5.故选：C变式训练3：集合，则中元素的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】由已知得，又，所以中元素的个数为个．故选：C. 考点五：元素个数（求参）相同元素根据互异性，只能计算一个（主要考查互异性）例5．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（   ） A． B． C． D．【答案】D【详解】解：①当时，，此时满足条件；②当时，中只有一个元素的话，，解得，综上，的取值集合为，．故选：D．变式训练1：已知集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，符合题意；当时，若集合中有且只有一个元素，则，解得；所以实数的取值集合是.故选：A．变式训练2：式子的所有可能取值组成的集合为________.【答案】【详解】因为，所以，当时，，当时，，所以式子的所有可能取值组成的集合为，故答案为：变式训练3：已知集合.（1）若是空集，求的取值范围；（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.【详解】（1）若A是空集，则方程无解此时＝9-8a＜0即a所以的取值范围为（2）若A中只有一个元素则方程有且只有一个实根当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，解得：∴a＝0或a当时，；当时，（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是. 考点六：集合新定义例6．给定集合，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，给出如下三个结论：①集合为闭集合；②集合为闭集合；③若集合、为闭集合，则为闭集合．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D．【答案】B【详解】对于命题①，取，，则，则集合不是闭集合，①错误；对于命题②，任取、，则存在、，使得，，且，，所以，，，所以，集合为闭集合，②正确；对于命题③，若集合、为闭集合，取，，则或，取，，则，，所以，集合不是闭集合，③错误.因此，正确的结论个数为.故选：B.变式训练1：已知集合中的元素均为整数，对于，如果且，那么称是的一个“孤立元”．给定集合，由中的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案：6解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个． 变式训练2：已知集合．(1)若，则是否存在，使成立？(2)对于任意，是否一定存在，使？证明你的结论．解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.  【真题演练】1、【2018新课标2，理1】已知集合，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A．2、【2013山东，理1】已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．9【答案】C【解析】；；．∴中的元素为共5个，故选C．3、【2013江西，理1】若集合中只有一个元素，则=（   ） A．4 B．2 C．0 D．0或4【答案】A【解析】当时，不合，当时，，则，故选A．4、【2012江西，理1】若集合，，则集合中的元素的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】根据题意，容易看出只能取1，1，3等3个数值．故共有3个元素，故选C．5、【2012天津，文9】集合中的最小整数为_______．【答案】【解析】不等式，即，，所以集合，所以最小的整数为． 【当堂小结】1．知识清单：(1)用列举法和描述法表示集合．(2)两种表示法的综合应用．2．方法归纳：等价转化、分类讨论．3．常见误区：点集与数集的区别．  【过关检测】1、若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得，用列举法表示为：，故选：B.2、已知集合，，则集合中所含元素的个数为（   ） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为集合，所以共含有10个元素.故选：D.3、已知集合，，则集合等于（   ） A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，，当时，；当时，；当时，；当时，所以，故选：B4、已知，则实数的值为（   ） A．1或 B．1 C． D．或0【答案】C【详解】当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意；当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意；若，则，满足.故选：C5、下列四个命题：①是空集；②若，则；③集合含有两个元素；④集合是有限集．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【详解】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确；②当a＝0时，0∈N，所以②不正确；③因为由x2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；④当x为正整数的倒数时，∈N，所以是无限集，所以④不正确．故选：D6、若集合中只有一个元素，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或【答案】D【详解】当时，，合乎题意；当时，关于的方程有两个相等的实根，则，解得.综上所述，或.故选：D.7、设是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的，都有(除数)，则称是一个数域，例如有理数集是一个数域，有下列说法正确的是（   ） A．数域必含有两个数； B．整数集是数域； C．若有理数集，则数集必为数域； D．数域必为无限集．【答案】AD【详解】数集P有两个元素m，N，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，，所以整数集不是数域，B不正确；令数集，则，但，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．故选：AD8、设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数）则称数集是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．下列命题是真命题的是（   ） A．整数集是数域 B．若有理数集，则数集必为数域 C．数域必为无限集 D．存在无穷多个数域【答案】CD【详解】要满足对四种运算的封闭，逐个检验；A.对除法如∉Z不满足，所以排除；B.当有理数集增加一个元素得，而不属于集合，所以不是一个数域,排除；C.域中任取两个元素，由运算可以生成无穷多个元素，所以正确；D.把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，所以正确.故选:CD.9、用适当的方法表示下列集合：（1）大于且小于的有理数组成的集合．（2）的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．【答案】（1）用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}．（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．10、已知集合．（1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【详解】解：（1）若中只有一个元素，则当时，原方程变为，此时符合题意，当时，方程为二元一次方程，，即，故当或时，原方程只有一个解；（2）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，由得综合（1）当时中至少有一个元素；（3）中至多有一个元素，即中有一个或没有元素当，即时原方程无实数解，结合（1）知当或时中至多有一个元素.11、已知集合，其中.（1）1是中的一个元素，用列举法表示A；（2）若中至多有一个元素，试求a的取值范围.【答案】（1）（2）或【详解】（1）因为，所以，得，所以.（2）当中只有一个元素时，只有一个解，所以或，所以或，当中没有元素时，无解，所以，解得，综上所述：或.