第十七讲 基本不等式-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第十七讲：基本不等式【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 【基础知识】基本不等式1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．  【考点剖析】考点一：对基本不等式的理解例1．若，则下列不等式成立的是（   ） A．  B． C．  D．【答案】B【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，由，所以，故选：B 变式训练1：若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，利用不等式的性质知，，，故ABD正确；因为，利用基本不等式知，故C错误.故选：C 变式训练2：下列关于实数的不等式中，不恒成立的是（   ） A．  B． C．  D．【答案】D【详解】由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立当时不成立，故选：D 变式训练3：若，且，则（   ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜【答案】B【详解】∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选：B 考点二：基本不等式性质例2．下列各式：①，②，③，④.其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】由可得，故①错误，当且仅当，即时等号成立，故②正确当时，，当且仅当时等号成立，故③错误，当且仅当，即时等号成立，故④正确故选：C 变式训练1：下列选项中恒成立的是（   ） A． B． C．，则 D．且【答案】D【详解】A：当时，显然，所以本选项不符合题意；B：，所以本选项不符合题意；C：由基本不等式可知：当，时，恒成立；当，时，，所以本选项不符合题意；D：，因为且，所以，因此，所以本选项符合题意，故选：D 变式训练2：下列不等式一定成立的是（   ） A．  B． C．  D．若，，则【答案】B【详解】对于A中，当时，，所以A不正确；对于B中，由，当且仅当时，即时，等号成立，即，所以B正确；对于C中，由，可得，所以C不正确；对于D中，，，可得，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即，所以D不正确. 变式训练3：已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，则由基本不等式，即，故A错误，D正确；取，则，故B错误；取，则，，故C错误.故选：D. 考点三：基本不等式证明不等式（一）例3．数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ） A． B． C． D．【答案】B【详解】由图可知，，，在中，，显然，即.故选：B 变式训练1：如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立【答案】C【详解】通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，则大正方形的边长为，如图，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即，当时，中间空白的正方形消失，即整个正方形与四个直角三角形重合.故选：C. 变式训练2：《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（   ） A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为直角三角形的直角边长分别为和，所以大正方形的面积为由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以（）故选：B 变式训练3：《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ） A． B． C． D．【答案】D【详解】由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选：D． 考点思：基本不等式证明不等式（二）例4．已知、、，；证明：.【答案】详见解析；【详解】（1）因为，所以，因为，，，所以，即，，当且仅当时取等号. 变式训练1：描述并证明基本不等式；【答案】（1）答案见解析；【详解】证明：（1）当且仅当a=b时，等号成立.对于，有，当且仅当，即时等号成立．所以，当且仅当时，等号成立. 变式训练2：设，，证明不等式：.【答案】证明见解析.【详解】∵、均为正数，，，∴，.  变式训练3：用基本不等式证明不等式（1）已知为不全相等的正实数，求证：；（2）已知为正实数，且，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【详解】证明：（1）∵正数，∴，，，又是不全相等的正数，上述三个等号不能同时取到，∴，即，（2）∵a，b，c为正实数，且，∴．  【当堂小结】1．知识清单：(1)基本不等式．(2)利用基本不等式比较大小．(3)利用基本不等式证明不等式．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误．  【过关检测】1、已知，，，则下列各式中正确的是（    ） A． B．1 C．2 D．1【答案】C【详解】当时，，所以AB选项错误，同时，所以D选项错误.对于C选项，由基本不等式得，当且仅当时等号成立.所以C选项正确.故选：C 2、若，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，因为，所以，，故A正确；对于B，由均值不等式可知B正确；对于C，，故C正确；对于D，取，而，D不正确.故选：D. 3、小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度骑行，后一半路程以速度骑行，且，其全程的平均速度为，则下列关系中不正确的是（    ） A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，设甲地到乙地的距离为，则小明从甲地到乙地的时间为，则其平均速度为，A选项正确；，则，即，由基本不等式可得，，所以，，B选项正确，D选项错误；，，C选项正确.故选：D. 4、下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．函数的最小值为【答案】C【详解】对于A，若，则恒成立，错；对于B，若，则恒成立，若，则，错；对于D，函数，，令，则且，因为在上为增函数，故，对于C，因为，而，，故成立.故选：C． 5、若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】因为，所以.因此，且，且②、③不正确.所以，所以①正确，由得､均为正数，所以，（由条件，所以等号不成立），所以④正确.故选：C. 6、（多选）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，【答案】AC【详解】解:选项A.，，等号成立的条件是，故A正确；选项B.当时，，，所以时，的最小值是2，等号成立的条件是，没有最大值,故B不正确；选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，根据“或”命题的性质可知C正确；选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，即最小值不存在，故D不正确.故选：AC. 7、若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D．【答案】C【详解】，C正确；时，，A错；时，，B错；，D错．故选：C. 8、若为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】解：对于①，由重要不等式可知①正确；对于②， ，故②正确；对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确；对于④，令可知④不正确．故恒成立的个数为个.故选：C. 9、（多选）对于，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C．  D．【答案】CD【详解】解：选项，作差可得，当且仅当时取等号，故错误．选项，由基本不等式可得，变形可得，当且仅当时取等号，故错误；选项，由基本不等式可得，平方可得，当且仅当时取等号，故正确；选项，，当且仅当时取等号，故正确；故选：． 10、（多选）已知，则下列式子一定成立的有（    ） A．  B． C．  D．【答案】AD【详解】对于A：因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B：，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，，所以，故B错误；对于C：，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以，故C错误；对于D：，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以，故D正确，故选：AD 11、（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（    ） A．  B． C．  D．【答案】BCD【详解】因为，所以，所以，故A不成立，当且仅当，即时等号成立，故B成立 ，，即，当且仅当时等号成立，故选项C成立；，当且仅当时等号成立，故等号取不到，，故选项D成立.故选：BCD 12、（多选）下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时，的最小值是 D．设，，且，则的最小值是【答案】BC【详解】A. 当时，，当且仅当，即时等号成立，A正确；B. 当时，，当且仅当时等号成立，但无实解，故最小值2取不到，B错；C. 当时，，最小值显然不是正值，C错；D. 设，，且，则，当且仅当，即时等号成立，D正确． 故选：BC 13、（多选）下列命题中正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．最小值是5【答案】ACD【详解】对于A，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故A正确；对于B，，因为，即无解，即等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故C正确；对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值是5，故D正确； 故选：ACD. 14、已知都是正数，且.求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. 15、已知，，均为正实数，求证：若，则．【答案】证明见解析【详解】证明：因为，，均为正实数，由基本不等式得，当且仅当时，即a=1取等号，同理，当且仅当时，即b=1取等号，，当且仅当时，即c=1取等号，以上三式相加，得所以，当且仅当时，取等号． 16、已知正数满足，证明；【答案】（1）证明见解析；【详解】（1）由基本不等式可得，同理，，所以即，当且仅当时等号成立，故成立． 17、证明下列式子（1）已知,证明：；（2）已知,证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】(1)因为.因为,故,即.故成立.(2)由基本不等式可得,故.同理有,.相加可得,当且仅当时取等号.即得证. 18、已知，，，且.证明：（1）若，，，证明：；（2）设，，，且，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）由题得，∴，当且仅当时，等号成立.（2）∵，，，∴，∴，∴.当且仅当时，等号成立. 19、已知，，，求证：（1）；（2）.【答案】证明见解析.【详解】证明：（1）因为且，（当且仅当时取等号），即，所以，又，所以；（2）因为，  所以，当且仅当时，等号成立， 所以.  20、判断以下两个命题是否正确，并加以解释（1）命题：若，是正实数，则（2）命题：若，是正实数，则【答案】（1）命题正确，解释见详解；（2）命题错误，解释见详解.【详解】（1）命题正确，因为，是正实数，所以，由基本不等式，当，是正实数时，显然成立，故命题正确；（2）命题错误，因为，是正实数，所以显然不成立，故命题错误. 21、已知，，求证：.【答案】证明见解析【详解】证明：由均值不等式得，，，三式相加得.所以. 22、判断并证明（1）已知，试比较与的大小.（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）因为，，，所以.（2）证明：∵，，∴以上三式相加得:∴. 23、已知是不全相等的三个正数，求证：【答案】证明见详解【详解】∵ 是不全相等的三个正数，∴ 不全相等，∴ ，，，故三个不等式的等号不能同时成立，则三式相加得，，∴ ，即. 24、已知，，为正实数，且，证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【详解】（1）因为，，为正实数，所以，，，（当且仅当时，等号同时成立），所以.（2）因为，所以又，即.（当且仅当时，等号同时成立）.所以，即.