第6讲 全称量词与存在量词-【新教材】2022新高一同步（初升高）衔接讲义（原卷+解析）
展开第6讲 全称量词与存在量词
- 全称量词与存在量词概念
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.（全称量词命题的形式：）
（2）短语“存在”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.（存在量词命题的形式：）
- 全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）假设全称量词命题为“”，则它的否定为“并非任意一个”，也就是“”.
（2）假设存在量词命题为“”，则它的否定为“不存在”，也就是“”.
例1.判断下列全称量词命题的真假.
（1）所有的素数都是奇数；
（2）；
（3）对任意一个无理数，也是无理数.
【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题.
例2.判断下列存在量词命题的真假.
（1）有一个实数，使；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形.
【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题.
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）对任意，的个位数字不等于3；
（3）存在一个实数的绝对值是正数；
（4）有些平行四边形是菱形；
（5）；
（6）；
（7）任意两个等边三角形都相似；
（8）.
【答案】
（1）存在能被3整除的整数不是奇数，真命题；
（2）存在，的个位数字等于3，假命题；
（3）所有实数的绝对值都是非正数，假命题；
（4）所有的平行四边形都不是菱形，假命题；
（5），真命题；
（6），假命题；
（7）存在两个等边三角形不相似，假命题；
（8），真命题.
例4.由下列四个命题：
①；②；③；④，为29的约数. 其中真命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】①正确，；②错误，；③正确，；④正确，或29，为29的约数.故真命题个数为3，选C.
例5.
(1) 命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
(2) 命题的否定是（ ）
- B.
C. D.
【答案】（1）D；（2）B.
例6.已知，对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】由得对于恒成立，
若，不等式为，不恒成立，所以；
若，则，解得，
综上所述，的取值范围为.
例7.
(1) 若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 .
(2) 若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意，“，使得，即成立”是真命题，
则，由对勾函数的图象可知，当时，，所以，即的取值范围为；
（2）依题意，“，使得，即成立”是真命题，
则，由对勾函数的图象结合计算可知，当或时，，所以，即的取值范围为.
跟踪训练
- 下列四个命题中真命题是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A错误，当时，；B正确，；C错误，当时，；D错误，当时，，故选B.
- 将“”改写成全称量词命题，下列说法正确的是（ ）
- B.
C. D.
【答案】A
- 命题“，使”的否定是（ ）
- B.不存在，使
C. D.
【答案】C
- 命题“”的否定为（ ）
- B.不存在，使
C. D.
【答案】D
- 若“”为真命题，则实数应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解法一：“”为真命题，
若，显然存在使得，满足题意；
若，则，解得，
综上所述，，选A.
解法二：原命题“”的否定为“”，
若原命题为真命题，则否命题为假命题，
先求否命题为真命题时的取值范围：
若，不等式为，即，不符合题设；
若，则，解得，
综上，，
所以，原命题为真命题时的取值范围为，选A.
- 若是真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
解法一：是真命题，则，解得，所以的取值范围是.
解法二：先求否命题为真命题时的取值范围：只需，解得，所以原命题为真命题时的取值范围是.
解法三：，即是真命题，则，所以，即的取值范围是.
- 已知命题“，使得”是假命题，则实数的最大值是 .
【答案】5
【解析】依题意否命题“，使得”是真命题，则，所以的最大值是5.
- 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意否命题“，使得”是真命题，
则，解得，所以的取值范围是.
