新高一数学暑期衔接教材第18讲-幂函数的图像与性质

主    题

幂函数的图像与性质

教学内容

1. 了解幂函数的概念；

2. 掌握常见幂函数的图像与性质。

（以提问的形式回顾）

观察下列函数，它们的关系式有什么共同特点？

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.

都是以自变量为底数，指数为常数，自变量前的系数为1，只有一项。由此，引入幂函数的定义.

幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，k是常数，且；

这里要注意强调系数是1和指数是有理数。

判断：下列各式中表示幂函数的有（     ）      

A、   B、   C、   D、

E、   F、   G、

答案：C E F

思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？我们上一章讲了函数的哪些基本性质？

（回顾第三章的内容——函数的性质，考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像）

下面我们进入精讲提升，来看一下幂函数的这些性质。

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函数的图像

解：函数的定义域为，值域为。

（1）奇偶性。

因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。

（2）单调性。

对任意，且

可得   则     即

所以函数在上为减函数。

由以上几点分析函数的图像的性质：由，可知函数的图像只在第一象限；

由函数非奇非偶，可知图像不对称；由函数是减函数，可知y随x的增大而减小。

描点作图：

试一试：仿照例1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？

　　（1）y＝x－1；    （2）y＝x－2；      （3）y＝．

先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图像都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，都类似于反比例函数图像的趋势。

小结：研究函数图像的基本步骤（方法）

1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。

2、由单调性判断图像的变化趋势。

3、由奇偶性判断函数图像是否对称。

例2. 指出的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。

解：   定义域为R，值域为

（1）奇偶性。

对任意，满足，

使得

所以该函数是偶函数。

（2）单调性。

对任意，且

所以，故有     即

所以在上为增函数。

同理可得在上为增减数。

描点作图：

仿照例2研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？

　（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；

（1）定义域为［0，＋），（2）（3）定义域都是R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）是偶函数．它们的图像都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．都类似于y＝的函数图像的趋势。

例3.  指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图像。

定义域：R    

值域：R     

奇偶性：奇    

单调性：增函数

试一试：仿照例3研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？

（1）            （2）              （3）

（1）（2）定义域都是R，（3）定义域为［0，＋）；其中（1）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数.它们的图像都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．都类似于的函数图像的趋势。

幂函数总结：

例4. 已知幂函数在区间上是减函数，求的最大负整数值.

解：由在上是减函数且是整数，知且为偶数，

故的最大负整数值为.

试一试：已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数，求的值，并写出相应的函数．

解：因为在是增函数，所以，即，解得，所以0、1、2.

当0时，不是偶函数，故0舍去；当1时，是偶函数，故1符合题意；当2时，不是偶函数，故2舍去.

综上1，.

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

比较大小：

1. 已知函数（1）；（2）；（3）；（4），写出分别具下列性质的函数

①图像与轴有交点的：                   ；②图像关于原点对称的：                   ；

③定义域内单调递减的：                   ；④在定义域内有反函数的：                 .

解：②④       ③       无      ①②③

2. 幂函数的图像与坐标轴无公共点且是偶函数，则的是          ．

解：因为与坐标轴无公共点，所以，

又是偶函数，因此是偶数，所以

3. 比较下列各组中两个数的大小：

　　（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．

　　解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，

　　∵1.5＜1.7，∴＜，

　　（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．

　　（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，

　　∵＝，＝，又＞，

　　∴＞．

4. 已知满足．

（1）求的值；

（2）是否存在正数，使的值域为？为若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.

解：（1）由且，知在上单调递增，

故，因此或0；

（2），，

对称轴为，则，得，与矛盾，

所以不存在.

提高练习：

1、          作函数的图像，并根据函数图像讨论方程，的实根个数。

2、          讨论函数的图像与幂函数的图像的关系，并在同一直角坐标系中分别作出函数的图像。

3、          讨论函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出此函数的大致图像。

本节课主要知识点：幂函数的概念，幂函数的图像和性质

【巩固练习】

1. 下列函数中不是幂函数的是（   ）

A．　　　B．　　C．　　　D．

答案：C

2. 已知幂函数为偶函数，且在上是减函数，求的解析式.

解：由题设知得.因为，所以又因为为偶函数，所以

，所以.

【预习思考】

问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞分裂的个数 y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关系式吗？

问题2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。