12 奇偶性（原卷版）苏教版（2019）高中数学初升高练习
展开第十三讲 奇偶性
【学习目标】
l.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生的观察能力、抽象思维能力，以及从特殊到一般的归纳能力
2.掌握判断函数的奇偶性的方法
3..理解并能运用函数奇偶性的简单性质
【知识要点】
l.函数奇偶性的定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数（odd function）.
2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象.
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3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再比较与的关系；
4.函数奇偶性的几个性质：
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；
（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
（3）若奇函数在原点有意义，则；
（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；
（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；
（6）函数与函数有相同的奇偶性.
5.奇偶性与单调性：
（1）奇函数在两个关于原点对称的区间上有相同的单调性；
（2）偶函数在两个关于原点对称的区间上有相反的单调性.
【精讲精练】
一．奇偶性的概念
例1 考察函数与
思考1：这两个函数的图象分别是什么？两者有何共同特征？
思考2：对于上述两个函数，与,与,与有什么关系
思考3：一般地，若函数的图象关于轴对称，则与有什么关系？反之成立吗
思考4：我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？
例2 考察函数与
思考1：这两个函数的图象分别是什么？两者有何共同特征？
思考2：对于上述两个函数，与,与,与有什么关系
思考3：一般地，若函数的图象关于原点对称，则与有什么关系？反之成立吗
思考4：我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？
二．函数奇偶性的判断
例3 判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
例4（1）判断函数与的奇偶性
（2）从中你发现了什么？
变式 判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
例5 已知，都为R上的奇函数，，判断并证明与的奇偶性。
变式 已知，分别为R上的奇函数和偶函数，判断并证明的奇偶性
例6 已知
（1）为偶函数的条件是什么？
（2）为奇函数的条件是什么？
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变式 已知函数为偶函数，其定义域为，则 ，
三．奇偶函数解析式
例7 已知是R上的奇函数，且当时，，
（1）求证：
（2）求的表达式。
变式 已知是R上的偶函数，且当时，，求的表达式。[来源:学科网]
【思维拓展】
1.定义在上的函数满足，且对任意,当 时,都有。
（1）证明:函数是奇函数；
（2）用函数的单调性定义判断并证明函数在上的单调性。
【课外作业】
1．对于定义域是R的任意奇函数都有（ ）
A. B. C. D.
2．设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。
3.已知函数是奇函数，当时，；当时，等于（ ）
A. B. C. D.
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4．若函数，有则 。
5．设与的定义域是，是偶函数，是奇函数，且，求与的解析式[来源:学科网]
