第八章立体几何专题训练（十二）—异面直线所成的角（大题）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

第八章  立体几何专练（十二）—异面直线所成的角（大题）

1．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，为的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

证明：（Ⅰ）在菱形中，有，由平面，平面，

，

又，，平面，

平面，

平面，

解：（Ⅱ）作交于点，连接，，，设，

由，为的中点，，且为的中点．

又，，则，

由（Ⅰ）可知：平面，而

平面，

直线与平面所成角为

又，

故直线与平面所成角的正弦值．

2．已知三棱柱中，平面，，，为中点．

（1）证明：直线平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

（1）证明：连接，交于点，连接，则为的中点，

为的中点，

，

又平面，平面，

直线平面．

（2）解：由（1）知，，

或其补角为直线与所成角，

平面，平面，

，

等边，且为的中点，，

又，、平面，

平面，

，

，

在中，，

由余弦定理知，，

故异面直线与所成角的余弦值为．

3．如图，在直三棱柱中，侧棱与底面所有直线均垂直，底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，，分别为棱和的中点．

（1）试判断直线和的位置关系，并说明理由；

（2）求异面直线和所成角的余弦值．

解：（1）连接．

在△中，，分别为棱和的中点，

所以，且，（2分）

又在直三棱柱中，，且，

所以，且，

所以四边形为梯形，所以直线和为相交直线．

（5分）

（2）因为，所以（或其补角）为异面直线和所成角．（7分）

因为是边长为4的正三角形，则，

在△中，，，，则，

同理，（10分）

在中，，，，解得，

所以异面直线和所成角的余弦值为．（12分）

4．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，．

（1）证明：平面；

（2）求直线与所成角的余弦值．

解：（1）证明：连结与相交于点，连结，

由矩形可得点是的中点，又是的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）由（1）可知，或其补角为异面直线和所成的角，

设，则，

，

，

在△中，由余弦定理可得，，

所以直线与所成角的余弦值为．

5．在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成的角的大小的余弦值．

解：（1）证明：由题意知，，

是圆柱的一条母线，垂直于圆柱的底面，

则，即，

又，且，平面，

平面，平面，

；

（2）连结，如图示：

由题意知，，

异面直线与所成的角等于直线与直线所成的角，

在中，，

，

，

由余弦定理，得，

故异面直线与所成的角的余弦值为．

6．在三棱锥中，是底面的重心，是线段上的点，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若是以为斜边的等腰直角三角形，求异面直线与所成角的余弦值．

（Ⅰ）证明：连接并延长交于点，连接，

是的重心，，

，，

平面，平面．

平面．

（Ⅱ）解：由可知，，

所以与所成的角即为．

在直角中，令，

则，，，

在中，由余弦定理．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

10．在长方体中，，，，为棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线和所成的角的余弦值．

【解答】（1）证明：由题意可知，，，，为棱的中点，

所以，，，

则，

所以，

又长方体中中，平面，

因为平面，所以，

又，，平面，

所以平面；

（2）解：取的中点，连结，，，

则，且，

所以四边形是平行四边形，

故，

所以即为异面直线和所成的角，

连结，则，，，

在△中，由余弦定理可得，，，

故异面直线和所成的角的余弦值为．

7．在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点，，，，．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

（1）证明：因为四边形是等腰梯形，且，

所以，

又是的中点，

所以且，

连接，

因为，，所以，，

所以四边形为平行四边形，所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）解：因为，

所以或其补角为异面直线与所成的角，

在中，，

因为，，所以，

由余弦定理得，，

因为异面直线夹角的取值范围为，，

故异面直线和所成角的余弦值为．

8．已知如图，平面，四边形为等腰梯形，，．

（1）求证：平面平面；

（2）已知为中点，求与平面所成角的正弦值．

证明：（1）连接，过作于，过作于．

在等腰梯形中，，．

，则，，

即，

平面，平面，

，平面，

又平面，平面平面．

（2）由（1）知，，

为直角三角形，为中点，

设到平面距离为，

，

，

，

即，

．

与平面所成角的正弦值等于．